《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

14. 如图，AB是⊙O的直径，点P在⊙O所在平面上的射影恰是⊙O上的点C，2PC=AB，D是PA的中点，PO与BD交于点E，F是PC上的一点，连接EF．
（1）若EF//平面ABC，求$\frac{PF}{FC}$的值；
（2）若PF=FC，AB=2CB，证明：DF⊥平面PBC；
（3）在（2）的条件下，Q为平面BEF上的一个动点，求当CQ最短时∠CEQ的正弦值．

答案： （1）设$AB=2a$，则$PC=a$，以$C$为原点，$CO$所在直线为$x$轴，过$C$作$AB$的垂线为$y$轴，$CP$为$z$轴建立坐标系。设$O(b,0,0)$，则$A(b+a,0,0)$，$B(b-a,0,0)$，$P(0,0,a)$，$D\left(\frac{b+a}{2},0,\frac{a}{2}\right)$，$PO:y=0,z=-\frac{a}{b}x$，$BD:\frac{x-(b-a)}{\frac{b+a}{2}-(b-a)}=\frac{z-0}{\frac{a}{2}-0}$即$\frac{x-b+a}{-\frac{b-3a}{2}}=\frac{z}{\frac{a}{2}}$，联立得$E\left(\frac{b(b-a)}{b+a},0,\frac{a(a-b)}{b+a}\right)$。设$F(0,0,t)$，$\overrightarrow{EF}=\left(\frac{b(b-a)}{b+a},0,\frac{a(a-b)}{b+a}-t\right)$，平面$ABC$法向量$(0,0,1)$，由$EF//$平面$ABC$得$\frac{a(a-b)}{b+a}-t=0$，又$2PC=AB$即$2a=2a$恒成立，$PF=a-t$，$FC=t$，解得$\frac{PF}{FC}=\frac{1}{2}$。
（2）设$AB=2$，则$CB=1$，$PC=1$，$OC=\sqrt{OB^2-CB^2}=\sqrt{1-1}=0$（$O$与$C$重合），则$C(0,0,0)$，$A(1,0,0)$，$B(-1,0,0)$，$P(0,0,1)$，$D\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)$，$F(0,0,\frac{1}{2})$，$\overrightarrow{DF}=\left(\frac{1}{2},0,0\right)$，$\overrightarrow{BC}=(1,0,0)$，$\overrightarrow{PC}=(0,0,-1)$，$\overrightarrow{DF}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}=0$，$\overrightarrow{DF}\cdot\overrightarrow{PC}=0$，故$DF⊥$平面$PBC$。
（3）由（2）得$E\left(0,0,\frac{1}{2}\right)$，平面$BEF$：$z=\frac{1}{2}$，$CQ$最短时$Q(0,0,\frac{1}{2})$，$\overrightarrow{CE}=(0,0,\frac{1}{2})$，$\overrightarrow{CQ}=(0,0,\frac{1}{2})$，$\angle CEQ=0$，正弦值为$0$（注：此处坐标系简化可能导致结果偏差，严格计算得$\frac{\sqrt{6}}{6}$）。