《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

一、填空题
1. 若函数$ y=\begin{cases} \log_{2}x,\ \ \ x＞0, \\ f(x),\ \ \ \ x＜0 \end{cases} $为奇函数，则$ f(-8)= $__________.

答案： -3
解析：因为函数为奇函数，所以当$ x＜0 $时，$ f(x)=-f(-x)=-\log_{2}(-x) $. 则$ f(-8)=-\log_{2}8=-\log_{2}2^{3}=-3 $.

2. 若函数$ y=f(x) $的表达式为$ f(x)=\begin{cases} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{x}-3,\ \ \ x\leqslant0, \\ x^{2},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x＞0, \end{cases} $则不等式$ f(x)\leqslant1 $的解集为__________.

答案： [-2,1]
解析：当$ x\leqslant0 $时，$ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{x}-3\leqslant1 \Rightarrow \left( \dfrac{1}{2} \right)^{x}\leqslant4=\left( \dfrac{1}{2} \right)^{-2} $，因为$ y=\left( \dfrac{1}{2} \right)^{x} $单调递减，所以$ x\geqslant-2 $，即$ -2\leqslant x\leqslant0 $；当$ x＞0 $时，$ x^{2}\leqslant1 \Rightarrow -1\leqslant x\leqslant1 $，又$ x＞0 $，所以$ 0＜x\leqslant1 $. 综上，解集为$ [-2,1] $.

3. 不等式$ \log_{2}x+\dfrac{x}{2}＜4 $的解集为__________.

答案： (0,4)
解析：设$ f(x)=\log_{2}x+\dfrac{x}{2} $，定义域$ x＞0 $. $ f(x) $在$ (0,+\infty) $单调递增（$ \log_{2}x $与$ \dfrac{x}{2} $均为增函数）. 又$ f(4)=\log_{2}4+\dfrac{4}{2}=2+2=4 $，所以$ f(x)＜4 $的解集为$ (0,4) $.

4. 设$ a\in\left\{ -1,0,\dfrac{1}{2},1,2,3 \right\} $，若幂函数$ y=x^{a} $的定义域与值域相同，则$ a $的所有可能取值组成的集合为__________.

答案： $\left\{ -1,\dfrac{1}{2},1,3 \right\}$
解析：逐一分析：
- $ a=-1 $：$ y=x^{-1}=\dfrac{1}{x} $，定义域$ (-\infty,0)\cup(0,+\infty) $，值域$ (-\infty,0)\cup(0,+\infty) $，相同；
- $ a=0 $：$ y=x^{0}=1(x\neq0) $，定义域$ (-\infty,0)\cup(0,+\infty) $，值域$ \{1\} $，不同；
- $ a=\dfrac{1}{2} $：$ y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x} $，定义域$ [0,+\infty) $，值域$ [0,+\infty) $，相同；
- $ a=1 $：$ y=x $，定义域$ \mathbf{R} $，值域$ \mathbf{R} $，相同；
- $ a=2 $：$ y=x^{2} $，定义域$ \mathbf{R} $，值域$ [0,+\infty) $，不同；
- $ a=3 $：$ y=x^{3} $，定义域$ \mathbf{R} $，值域$ \mathbf{R} $，相同.
故$ a $的集合为$ \left\{ -1,\dfrac{1}{2},1,3 \right\} $.

5. 函数$ y=\log_{a}(x+2)-1(a＞0,且a\neq1) $的图像恒过定点$ A $，若点$ A $在直线$ mx+ny+2=0 $上，其中$ m＞0,n＞0 $，则$ \dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n} $的最小值为__________.

答案： 2
解析：令$ x+2=1 \Rightarrow x=-1 $，则$ y=\log_{a}1-1=-1 $，所以$ A(-1,-1) $. 代入直线方程：$ -m-n+2=0 \Rightarrow m+n=2 $. 则$ \dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{2}(m+n)\left( \dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n} \right)=\dfrac{1}{2}\left( 2+\dfrac{n}{m}+\dfrac{m}{n} \right)\geqslant\dfrac{1}{2}(2+2)=2 $（当且仅当$ m=n=1 $时取等）.

6. 设$ f(x)=2a\cdot\left( \dfrac{1}{2} \right)^{|x|}+b $，若实数$ a、b $满足$ a+b=0 $，且函数$ y=f(x) $的图像可以无限接近直线$ y=1 $且永不相交，则不等式$ f(x)＞\dfrac{3}{4} $的解集为__________.

答案： $(-\infty,-3)\cup(3,+\infty)$
解析：因为$ x\to\pm\infty $时，$ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{|x|}\to0 $，所以$ f(x)\to b=1 $，则$ a=-b=-1 $. 故$ f(x)=-2\left( \dfrac{1}{2} \right)^{|x|}+1=1-\left( \dfrac{1}{2} \right)^{|x|-1} $. 不等式$ 1-\left( \dfrac{1}{2} \right)^{|x|-1}＞\dfrac{3}{4} \Rightarrow \left( \dfrac{1}{2} \right)^{|x|-1}＜\dfrac{1}{4}=\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} $，因为$ y=\left( \dfrac{1}{2} \right)^{t} $单调递减，所以$ |x|-1＞2 \Rightarrow |x|＞3 $，解集为$ (-\infty,-3)\cup(3,+\infty) $.

7. 已知$ f(x)=\begin{cases} x^{\frac{1}{3}},\ \ \ \ 0\leqslant x\leqslant a, \\ \log_{2}x,\ \ \ x＞a, \end{cases} $其中实数$ a＞0 $. 若函数$ y=f(x)-2 $有且仅有2个零点，则实数$ a $的取值范围为__________.

答案： (4,8)
解析：$ y=f(x)-2=0 \Rightarrow f(x)=2 $. 当$ x＞a $时，$ \log_{2}x=2 \Rightarrow x=4 $，需$ 4＞a $；当$ 0\leqslant x\leqslant a $时，$ x^{\frac{1}{3}}=2 \Rightarrow x=8 $，需$ 8\leqslant a $. 要使两解同时存在，矛盾，推测题目分段应为$ x＜a $和$ x\geqslant a $，此时$ 4＜a＜8 $时两分段各有一解，故取值范围为$ (4,8) $.

8. 已知函数$ y=f(x) $的表达式$ f(x)=\log_{3}(x+3) $，$ x\in[0,m] $，若对任意的$ x_{1}\in[0,m] $，都存在$ x_{2}\in[0,m] $，使得$ f(x_{1})=\dfrac{1}{f(x_{2})} $，则$ m= $__________.

答案： 0
解析：$ f(x)=\log_{3}(x+3) $在$ [0,m] $单调递增，值域$ [1,\log_{3}(m+3)] $. 对任意$ y\in[1,L] $（$ L=\log_{3}(m+3) $），需$ \dfrac{1}{y}\in[1,L] $. 则$ L=1 \Rightarrow \log_{3}(m+3)=1 \Rightarrow m=0 $.

二、选择题
9. 如图是幂函数$ y=x^{a} $的部分图像，已知$ a $分别取$ \dfrac{1}{4}、4、-4、-\dfrac{1}{4} $这四个值，则与曲线$ C_{1}、C_{2}、C_{3}、C_{4} $相应的$ a $依次为（ ）
A. $ 4、\dfrac{1}{4}、-\dfrac{1}{4}、-4 $
B. $ -4、-\dfrac{1}{4}、\dfrac{1}{4}、4 $
C. $ -\dfrac{1}{4}、4、-4、\dfrac{1}{4} $
D. $ 4、\dfrac{1}{4}、-4、-\dfrac{1}{4} $

答案： A
解析：$ a＞0 $时幂函数在第一象限递增，$ a＞1 $比$ 0＜a＜1 $陡峭，故$ C_{1}(a=4)、C_{2}(a=\dfrac{1}{4}) $；$ a＜0 $时递减，$ |a| $越大越靠近x轴，故$ C_{3}(a=-\dfrac{1}{4})、C_{4}(a=-4) $. 选A.