《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

1. 若空间向量$\vec{a}=(1,1,0)$，$\vec{b}=(0,1,1)$，则$\vec{b}$在$\vec{a}$方向上的投影为__________.

答案： $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
解析：投影为$\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|}=\dfrac{0+1+0}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。

2. 在空间直角坐标系中，点$(1,2,3)$关于$xOy$平面的对称点的坐标是__________.

答案： $(1,2,-3)$
解析：关于$xOy$平面对称，$z$坐标变为相反数。

3. 如图所示，在正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，若$E$是$D_{1}C_{1}$的中点，则异面直线$A_{1}C_{1}$与$DE$所成角的大小为__________.（结果用反三角函数表示）

答案： $\arccos\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
解析：$\overrightarrow{A_{1}C_{1}}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{DE}=(0,\dfrac{1}{2},1)$，$\cos\theta=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$，故角为$\arccos\dfrac{\sqrt{10}}{10}$。

4. 若$\overrightarrow{OA}=(1,-2,0)$，$\overrightarrow{OB}=(2,1,0)$，$\overrightarrow{OC}=(1,1,3)$，则三棱锥$O-ABC$的体积为__________.

答案： $\dfrac{5}{2}$
解析：底面$OAB$面积$\dfrac{5}{2}$，高为$C$的$z$坐标$3$，体积$\dfrac{1}{3}×\dfrac{5}{2}×3=\dfrac{5}{2}$。

5. 在空间直角坐标系$O-xyz$中，点$P(7,4,6)$关于坐标平面$xOy$的对称点$P'$，若点$Q$的坐标为$(8,-1,5)$，则向量$\overrightarrow{PQ}$与向量$\overrightarrow{PP'}$夹角的余弦值是__________.

答案： $\dfrac{\sqrt{3}}{9}$
解析：$P'(7,4,-6)$，$\overrightarrow{PQ}=(1,-5,-1)$，$\overrightarrow{PP'}=(0,0,-12)$，$\cos\theta=\dfrac{12}{\sqrt{27}×12}=\dfrac{\sqrt{3}}{9}$。

6. 如图，已知正三角形$ABC$和正方形$BCDE$的边长均为$2$，若二面角$A-BC-D$的大小为$\dfrac{\pi}{6}$，则$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=$__________.

答案： $-1$
解析：建系得$A(1,\dfrac{3}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2})$，$\overrightarrow{AC}=(1,-\dfrac{3}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2})$，$\overrightarrow{BD}=(2,2,0)$，点积$1×2+\left(-\dfrac{3}{2}\right)×2=-1$。

7. 已知正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的棱长为$2$，$P$为底面$ABCD$内（包括边界）的动点，若$D_{1}P\perp B_{1}D$，则点$P$在正方形底面$ABCD$内的运动轨迹长为__________.

答案： $2\sqrt{2}$
解析：轨迹方程$x+y=2$（$x,y\in[0,2]$），线段长$2\sqrt{2}$。

8. 空间中的平面可以用代数方程表示：过点$P(x_{0},y_{0},z_{0})$且一个法向量为$\vec{n}=(a,b,c)$的平面$\alpha$的方程为$a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0$. 若平面$\alpha$的方程为$2x+y-3z+5=0$，直线$l$是两个平面$\beta:x-y=0$与$\gamma:x-2z+1=0$的交线，则直线$l$与平面$\alpha$所成的角的正弦值是__________.

答案： $\dfrac{\sqrt{14}}{14}$
解析：$l$方向向量$\vec{v}=(0,4,2)$，$\alpha$法向量$\vec{n}=(2,1,-3)$，$\sin\theta=\dfrac{|4×1+2×(-3)|}{\sqrt{20}×\sqrt{14}}=\dfrac{\sqrt{14}}{14}$。