《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

13. 如图所示，边长为2（百米）的正方形$ABCD$区域是某绿地公园的一个局部，环线$AEFCDA$是修建的健身步道（不计宽度），其中弯道段$EF$是抛物线的一段，该抛物线的对称轴与$AD$平行，端点$E$是该抛物线的顶点且为$AB$的中点，端点$F$在$BC$上，且$FB$长为0.5（百米），建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题.
（1）求弯道段$EF$所确定的函数$y=f(x)$的表达式；
（2）绿地管理部门欲在弯道段$EF$上选取一点$P$安装监控设备，使得点$P$处监测$CD$段的张角$\angle CPD$最大，求点$P$的坐标.

答案： （1）$y=\frac{1}{2}(x-1)^2(1\leq x\leq2)$；（2）$(1,0)$
（1）以$A$为原点，$AB$为$x$轴，$AD$为$y$轴，$E(1,0)$，设$y=a(x-1)^2$，$F(2,0.5)$代入得$a=\frac{1}{2}$，所以$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$，$x\in[1,2]$。
（2）$C(2,2)$，$D(0,2)$，设$P(x,\frac{1}{2}(x-1)^2)$，计算$\tan\angle CPD$，当$x=1$时最大，此时$P(1,0)$。

14. 若实数$x、y\in[0,2\pi]$，且满足$\cos(x+y)=\cos x+\cos y$，则称$x、y$是“余弦相关”的.
（1）若$x=\frac{\pi}{2}$，求出所有与之“余弦相关”的实数$y$；
（2）若实数$x、y$是“余弦相关”的，求$x$的取值范围；
（3）若不相等的两个实数$x、y$是“余弦相关”的，求证：存在实数$z$，使得$x、z$为“余弦相关”的，$y、z$也为“余弦相关”的.

答案： （1）$\frac{3\pi}{4}$或$\frac{7\pi}{4}$；（2）$[0,\frac{\pi}{6}]\cup[\frac{5\pi}{6},2\pi]$；（3）证明见解析
（1）$\cos(\frac{\pi}{2}+y)=\cos\frac{\pi}{2}+\cos y\Rightarrow-\sin y=\cos y\Rightarrow\tan y=-1\Rightarrow y=\frac{3\pi}{4}$或$\frac{7\pi}{4}$。
（2）$\cos(x+y)-\cos y=\cos x\Rightarrow-2\sin(\frac{x+2y}{2})\sin\frac{x}{2}=\cos x$，令$t=\sin\frac{x}{2}$，解得$x\in[0,\frac{\pi}{6}]\cup[\frac{5\pi}{6},2\pi]$。
（3）设$z=\pi$，则$\cos(x+\pi)=\cos x+\cos\pi\Rightarrow-\cos x=\cos x-1\Rightarrow\cos x=\frac{1}{2}$，同理$\cos y=\frac{1}{2}$，存在$z$。