《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

6. 已知关于x的方程$x^2+x+m=0$（$m\in\mathbf{R}$）有两个虚根α,β，若$|\alpha-\beta|=3$，则m的值是_________.

答案： $\frac{5}{2}$
解析：设$\alpha=a+bi$，$\beta=a-bi$，$\alpha+\beta=-1=2a$，$a=-\frac{1}{2}$，$|\alpha-\beta|=2|b|=3$，$|b|=\frac{3}{2}$，$m=\alpha\beta=a^2+b^2=\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}$。

7. 在复数范围内分解因式：$x^4+4=$_________.

答案： $(x+1+i)(x+1-i)(x-1+i)(x-1-i)$
解析：$x^4+4=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)=(x+1+i)(x+1-i)(x-1+i)(x-1-i)$。

8. 若非零复数$z_1,z_2$分别对应复平面内的向量$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$，且$|z_1+z_2|=|z_1-z_2|$，线段AB的中点M对应的复数为$4+3i$，则下列判断正确的个数为_________个.
①$\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{OB}$；②$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}$；③$|z_1|^2+|z_2|^2=10$；④$|z_1|^2+|z_2|^2=100$.

答案： 2
解析：$|z_1+z_2|=|z_1-z_2|$得$\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{OB}$（①正确）；中点$M$对应$4+3i$，则$z_1+z_2=8+6i$，$|z_1+z_2|^2=|z_1|^2+|z_2|^2=100$（④正确），②③错误，正确个数为2。

9. 若复数z满足$(z-2)(1+i)=1-3i$，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

答案： D
解析：$z-2=\frac{1-3i}{1+i}=\frac{(1-3i)(1-i)}{2}=-1-2i$，$z=1-2i$，对应点$(1,-2)$在第四象限。

10. 若复数z满足$|z+i|=|z-i|$，则$|z+1+2i|$的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. $\sqrt{3}$ D. $\sqrt{5}$

答案： B
解析：$|z+i|=|z-i|$表示z的轨迹为实轴，$|z+1+2i|$即实轴上的点到$(-1,-2)$的距离，最小值为2。

11. 数学家在探寻自然对数底$e\approx2.71828$与圆周率π之间的联系时，发现了以下公式：
①$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$
②$\sin x=\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\cdots$
③$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-2}}{(2n-2)!}+\cdots$
上述公式中，$x\in\mathbf{C}$，n为正整数，据此判断以下命题中（i为虚数单位）正确的是（ ）
A. $e^{ix}=\cos x+i\cdot\sin x$ B. $e^{ix}=\sin x+i\cdot\cos x$ C. $e^{i\pi}-1=0$ D. $e^{i\pi}+i=0$

答案： A
解析：由欧拉公式知$e^{ix}=\cos x+i\sin x$，故A正确。

12. 已知$2-i$是关于x的方程$x^2+mx+n=0$（$m,n\in\mathbf{R}$）的一个根，其中i为虚数单位.
（1）求$m+2n$的值；
（2）记复数$z=m+ni$，求复数$\frac{\overline{z}}{1+i}$的模.

答案： （1）6；（2）$\frac{\sqrt{82}}{2}$
解析：（1）另一根为$2+i$，$m=-(2-i+2+i)=-4$，$n=(2-i)(2+i)=5$，$m+2n=-4+10=6$。
（2）$z=-4+5i$，$\overline{z}=-4-5i$，$\frac{\overline{z}}{1+i}=\frac{-4-5i}{1+i}=\frac{(-4-5i)(1-i)}{2}=-\frac{9+i}{2}$，模为$\sqrt{(-\frac{9}{2})^2+(-\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{82}}{2}$。