《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

1. 若$\cos\alpha=-\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\alpha\in(0,\pi)$，则$\tan2\alpha=$_________.

答案： $\frac{4}{3}$
解析：$\sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\tan\alpha=-2$，$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}=\frac{4}{3}$。

2. 若$\cos\alpha=\frac{2}{3}$，则$\sin2\alpha\cdot\tan(\pi-\alpha)=$_________.

答案： $-\frac{10}{9}$
解析：原式$=2\sin\alpha\cos\alpha(-\tan\alpha)=-2\sin^{2}\alpha=-\frac{10}{9}$。

3. 若$3\sin2x=2\sin x$，$x\in(0,\pi)$，则$x=$_________.

答案： $\arccos\frac{1}{3}$或$\pi-\arccos\frac{1}{3}$
解析：$6\sin x\cos x=2\sin x\Rightarrow\cos x=\frac{1}{3}$，$x=\arccos\frac{1}{3}$或$\pi-\arccos\frac{1}{3}$。

4. 若扇形的弧所对的圆心角为$54^{\circ}$，且半径为$10\ cm$，则该扇形的面积为_________$cm^{2}$.

答案： $15\pi$
解析：$54^{\circ}=\frac{3\pi}{10}\ rad$，$S=\frac{1}{2}×\frac{3\pi}{10}×10^{2}=15\pi$。

5. 若$\cos\theta=-\frac{1}{5}$，$\frac{5\pi}{2}＜\theta＜3\pi$，则$\sin\frac{\theta}{2}=$_________.

答案： $-\frac{\sqrt{15}}{5}$
解析：$\frac{\theta}{2}\in(\frac{5\pi}{4},\frac{3\pi}{2})$，$\sin\frac{\theta}{2}=-\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}=-\frac{\sqrt{15}}{5}$。