《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

12. 在$\triangle ABC$中，内角$A、B、C$所对的边分别为$a、b、c$，已知$a=b\tan A$且$B$为钝角.
（1）求$B-A$；
（2）求$\sin A-\cos B+\sin C$ 的取值范围.

答案： （1）$\frac{\pi}{2}$；（2）$(1,\frac{3}{2}]$
（1）$a=b\tan A\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\sin A}{\sin B}\Rightarrow\sin B=\cos A\Rightarrow B=\frac{\pi}{2}+A\Rightarrow B-A=\frac{\pi}{2}$。
（2）$C=\frac{\pi}{2}-2A$，$A\in(0,\frac{\pi}{4})$，$\sin A-\cos B+\sin C=2\sin A+1-2\sin^2A$，取值范围$(1,\frac{3}{2}]$。

13. 蜀绣又名“川绣”，与苏绣、湘绣、粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首.1915年，蜀绣在巴拿马太平洋国际博览会中荣获巴拿马国际金奖.在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点$D$为边$BC$上靠近点$B$的三等分点，$\angle ADC=60^\circ,AD=2$.
（1）若$\angle ACD=45^\circ$，求三角形手巾的面积；
（2）当$\frac{AC}{AB}$取最小值时，请帮设计师计算$BD$的长.

答案： （1）$\frac{3\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{4}$；（2）$2$
（1）在$\triangle ADC$中，正弦定理得$AC=\sqrt{6}$，$CD=\sqrt{3}+1$，$BC=\frac{3(\sqrt{3}+1)}{2}$，面积$\frac{1}{2}AC\cdot BC\sin120^\circ=\frac{3\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{4}$。
（2）设$BD=x$，$AC^2=4x^2-4x+4$，$AB^2=x^2+2x+4$，$\frac{AC}{AB}$最小值时$x=2$。