《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

13. 某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100].
（1）求频率分布直方图中$a$的值；
（2）估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率；
（3）从评分在[40,60)的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50,60)的概率.

答案： （1）由频率分布直方图性质，各小矩形面积和为1。组距为10，得$10×(0.004+a+0.022+0.028+0.018)=1$，即$0.004+a+0.022+0.028+0.018=0.1$，解得$a=0.008$。
（2）评分不低于70的区间为[70,80)，[80,90)，[90,100]，频率为$10×(0.028+0.018+0)=0.46$（注：[90,100]频率/组距图中未显示，默认为0），故概率约为0.46。
（3）[40,50)的频数为$50×10×0.004=2$，[50,60)的频数为$50×10×0.008=4$，共6人。设[40,50)的2人为$A,B$，[50,60)的4人为$C,D,E,F$，抽取2人的基本事件共15种，2人都在[50,60)的事件有6种，概率为$\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$。