《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

14. 已知函数$y=f(x)$的定义域为$D$，导函数为$y=f'(x)$，若对任意的$x\in D$，均有$f(x)＜f'(x)$，则称函数$y=f(x)$为$D$上的“$M-$类函数”。
（1）已知$f(x)=x+\sin x$，试判断函数$y=f(x)$是否为其定义域上的“$M-$类函数”，并说明理由；
（2）已知$g(x)=\frac{a}{x}+a-1$，$x\in(1,\pi)$，若函数$y=g(x)$为其定义域上的“$M-$类函数”，求实数$a$的取值范围；
（3）已知$h(x)=\sin x+ax+a-2$，$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$，且函数$y=h(x)$为其定义域上的“$M-$类函数”，求实数$a$的最大整数值。

答案： （1）不是；（2）$(-\infty,\frac{1}{3}]$；（3）$0$
解析：（1）$f'(x)=1+\cos x$，$f'(x)-f(x)=1+\cos x-x-\sin x$，当$x=\pi$时，$1-1-\pi-0=-\pi＜0$，故不是。
（2）$g'(x)=-\frac{a}{x^{2}}$，$g(x)＜g'(x)\Rightarrow a(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}+1)＜1$，$x\in(1,\pi)$时$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}+1\in(\frac{1}{\pi^{2}}+\frac{1}{\pi}+1,3)$，则$a＜\frac{1}{3}$，即$a\leq\frac{1}{3}$。
（3）$h'(x)=\cos x+a$，$h(x)＜h'(x)\Rightarrow ax＜\cos x-\sin x+2$，$x\in(0,\frac{\pi}{2}]$时$a＜\frac{\cos x-\sin x+2}{x}$，最小值在$x=\frac{\pi}{2}$时为$\frac{2}{\pi}\approx0.636$，最大整数为$0$。