《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

11. 某校高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题$A$、$B$可供选择，每名同学都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题$A$的人数多于选辩题$B$的人数，则（ ）
A. 选辩题$A$的女生人数多于选辩题$B$的男生人数
B. 选辩题$A$的男生人数多于选辩题$B$的男生人数
C. 选辩题$A$的女生人数多于选辩题$A$的男生人数
D. 选辩题$A$的男生人数多于选辩题$B$的女生人数

答案： A
解析：设女生$F ＞$男生$M$，选$A$人数$A ＞$选$B$人数$B$。假设选$A$的女生$F_A \leq$选$B$的男生$M_B$，则$A = F_A + M_A \leq M_B + M_A = M$，$B = F_B + M_B = (F - F_A) + M_B ＞ (F - M_B) + M_B = F ＞ M \geq A$，与$A ＞ B$矛盾，故$F_A ＞ M_B$，选A。

12. 用一段长为$40$m的铁皮围成一个一边靠墙的矩形仓库，墙长$20$m，平行于墙的一条边长为$x$m。
(1) 若要求仓库的面积不小于$150$m²，用不等式组表示其中的不等关系；
(2) 若矩形的长、宽都不能超过$14$m，求实数$x$的取值范围.

答案：
(1) $\begin{cases}0 ＜ x \leq 20 \\ \frac{x(40 - x)}{2} \geq 150\end{cases}$；
(2) $[12, 14]$
解析：
(1) 平行于墙边长$x$，则垂直于墙边长为$\frac{40 - x}{2}$，面积$\frac{x(40 - x)}{2} \geq 150$，且$x \leq 20$，$x ＞ 0$；
(2) 长$x \leq 14$，宽$\frac{40 - x}{2} \leq 14$得$x \geq 12$，故$12 \leq x \leq 14$。

13. 若$x_1$、$x_2$是关于$x$的方程$x^2 - (2k + 1)x + k^2 + 1 = 0$的两个实数根，且$x_1$、$x_2$都大于$1$。
(1) 求实数$k$的取值范围；
(2) 若$\frac{x_1}{x_2} = \frac{1}{2}$，求$k$的值.

答案：
(1) $\left[\frac{3}{4}, 1\right) \cup (1, +\infty)$；
(2) $7$
解析：
(1) $\Delta = 4k - 3 \geq 0$得$k \geq \frac{3}{4}$；对称轴$\frac{2k + 1}{2} ＞ 1$得$k ＞ \frac{1}{2}$；$f(1) = (k - 1)^2 ＞ 0$得$k \neq 1$，综上$k \geq \frac{3}{4}$且$k \neq 1$。
(2) $x_2 = 2x_1$，由韦达定理$3x_1 = 2k + 1$，$2x_1^2 = k^2 + 1$，解得$k = 1$（舍）或$k = 7$。