《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

12. 某工厂生产某产品的固定成本为400万元,每生产$x$万箱,需另投入成本$p(x)$万元,当产量不足60万箱时,$p(x)=\frac{1}{150}x^3 + 150x$；当产量不小于60万箱时,$p(x)=201x + \frac{6400}{x} - 1860$,若每箱产品的售价为200元,通过市场分析,该厂生产的产品可以全部销售完.
（1）求销售利润$y$（万元）关于产量$x$（万箱）的函数关系式；
（2）当产量为多少万箱时,该厂在生产中所获得利润最大？

答案： （1）每箱售价200元，即$0.02$万元/箱，总销售额为$0.02×10000x=200x$万元（注：1万箱=10000箱，200元/箱=0.02万元/箱，销售额=0.02×10000x=200x万元）.
当$0＜x＜60$时，$y=200x - (\frac{1}{150}x^3 + 150x) - 400=-\frac{1}{150}x^3 + 50x - 400$.
当$x\geq60$时，$y=200x - (201x + \frac{6400}{x} - 1860) - 400=-x - \frac{6400}{x} + 1460$.
综上，$y=\begin{cases}-\frac{1}{150}x^3 + 50x - 400, & 0＜x＜60, \\ -x - \frac{6400}{x} + 1460, & x\geq60.\end{cases}$
（2）当$0＜x＜60$时，$y'=-\frac{1}{50}x^2 + 50$. 令$y'=0$，解得$x=50$（$x=-50$舍去）.
当$x\in(0,50)$时，$y'＞0$；$x\in(50,60)$时，$y'＜0$. 所以$x=50$时，$y_{极大值}=-\frac{1}{150}×50^3 + 50×50 - 400=\frac{3200}{3}\approx1066.67$万元.
当$x\geq60$时，$y=-x - \frac{6400}{x} + 1460$，$y'=-1 + \frac{6400}{x^2}$. 令$y'=0$，解得$x=80$（$x=-80$舍去）.
当$x\in[60,80)$时，$y'＞0$；$x\in(80,+\infty)$时，$y'＜0$. 所以$x=80$时，$y_{极大值}=-80 - \frac{6400}{80} + 1460=1300$万元.
比较$\frac{3200}{3}\approx1066.67$与1300，最大值为1300万元，此时产量为80万箱.
答：当产量为80万箱时，利润最大.

13. 已知$f(x)=\ln x - (a + 1)x + \frac{1}{2}ax^2(a\in\mathbf{R})$.
（1）当$a=0$时,求曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程；
（2）当$a\in(0,1]$时,求函数$y=f(x)$的单调区间.

答案： （1）当$a=0$时，$f(x)=\ln x - x$，$f'(x)=\frac{1}{x} - 1$.
$f(1)=\ln1 - 1=-1$，$f'(1)=1 - 1=0$.
切线方程为$y - (-1)=0(x - 1)$，即$y=-1$.
（2）$f(x)$定义域为$(0,+\infty)$，$f'(x)=\frac{1}{x} - (a + 1) + ax=\frac{ax^2 - (a + 1)x + 1}{x}=\frac{(ax - 1)(x - 1)}{x}$.
因为$a\in(0,1]$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=\frac{1}{a}$（$\frac{1}{a}\geq1$）.
当$a=1$时，$\frac{1}{a}=1$，$f'(x)=\frac{(x - 1)^2}{x}\geq0$，$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调增.
当$0＜a＜1$时，$\frac{1}{a}＞1$.
当$x\in(0,1)$时，$ax - 1＜0$，$x - 1＜0$，$f'(x)＞0$；
当$x\in(1,\frac{1}{a})$时，$ax - 1＜0$，$x - 1＞0$，$f'(x)＜0$；
当$x\in(\frac{1}{a},+\infty)$时，$ax - 1＞0$，$x - 1＞0$，$f'(x)＞0$.
综上，当$a=1$时，单调增区间为$(0,+\infty)$；当$0＜a＜1$时，单调增区间为$(0,1)$和$(\frac{1}{a},+\infty)$，单调减区间为$(1,\frac{1}{a})$.