《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

2. 已知数列$\{a_n\}$为无穷等比数列，若$a_2 = -3$，公比$q = -\frac{1}{2}$，则$\sum_{i=1}^{\infty}a_i=$__________.

答案： 4
解析：由$a_2 = a_1q = -3$，得$a_1 = \frac{-3}{q} = \frac{-3}{-\frac{1}{2}} = 6$。无穷等比数列求和公式$\sum_{i=1}^{\infty}a_i = \frac{a_1}{1 - q}$，代入得$\frac{6}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{6}{\frac{3}{2}} = 4$。

3. 已知等比数列$\{a_n\}$，若$a_n ＞ 0$，$a_1$、$a_9$为$x^2 - 10x + 16 = 0$的两个根，则$a_4 \cdot a_5 \cdot a_6=$__________.

答案： 64
解析：方程$x^2 - 10x + 16 = 0$的两根为$a_1$、$a_9$，则$a_1a_9 = 16$。等比数列中$a_1a_9 = a_5^2$，又$a_n ＞ 0$，故$a_5 = 4$。$a_4a_5a_6 = a_5^3 = 4^3 = 64$。

4. 在等比数列$\{a_n\}$中，若$4a_1$、$2a_4$、$a_7$成等差数列，则$\frac{a_3 + a_5}{a_{11} + a_9}=$__________.

答案： $\frac{1}{4}$
解析：由等差数列性质得$2 \cdot 2a_4 = 4a_1 + a_7$，即$4a_4 = 4a_1 + a_7$。设公比为$q$，则$4a_1q^3 = 4a_1 + a_1q^6$，化简得$q^6 - 4q^3 + 4 = 0$，即$(q^3 - 2)^2 = 0$，$q^3 = 2$。$\frac{a_3 + a_5}{a_9 + a_{11}} = \frac{a_3(1 + q^2)}{a_9(1 + q^2)} = \frac{a_3}{a_9} = \frac{1}{q^6} = \frac{1}{(q^3)^2} = \frac{1}{4}$。

5. 已知数列$\{\log_3 a_n\}$是等差数列，若$\log_3 a_1 + \log_3 a_2 + \cdots + \log_3 a_{10} = 10$，则$a_3a_8=$__________.

答案： 9
解析：$\log_3 a_1 + \cdots + \log_3 a_{10} = \log_3(a_1a_2\cdots a_{10}) = 10$，故$a_1a_2\cdots a_{10} = 3^{10}$。$\{\log_3 a_n\}$为等差数列，则$\{a_n\}$为等比数列，$a_1a_{10} = a_2a_9 = a_3a_8 = a_4a_7 = a_5a_6$，所以$(a_3a_8)^5 = 3^{10}$，$a_3a_8 = 3^2 = 9$。

6. 用数学归纳法证明$1^2 + 2^2 + \cdots + (n - 1)^2 + n^2 + (n - 1)^2 + \cdots + 2^2 + 1^2 = \frac{n(2n^2 + 1)}{3}$（$n$为正整数）时，由$n = k$的假设到证明$n = k + 1$时，等式左边需要增加的是__________.

答案： $k^2 + (k + 1)^2$
解析：$n = k$时左边为$1^2 + \cdots + (k - 1)^2 + k^2 + (k - 1)^2 + \cdots + 1^2$；$n = k + 1$时左边为$1^2 + \cdots + k^2 + (k + 1)^2 + k^2 + \cdots + 1^2$，增加的项为$k^2 + (k + 1)^2$。

7. 数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 2$，$a_{n+1} = a_n + n + 1$，则通项$a_n=$__________.

答案： $\frac{n(n + 1)}{2} + 1$
解析：累加法：$a_n - a_{n-1} = n$，$a_{n-1} - a_{n-2} = n - 1$，$\cdots$，$a_2 - a_1 = 2$。累加得$a_n - a_1 = 2 + 3 + \cdots + n$，$a_1 = 2$，故$a_n = 2 + \frac{(n - 1)(n + 2)}{2} = \frac{n(n + 1)}{2} + 1$。

8. 若数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = \begin{cases} \frac{1}{n(n + 2)}, & n 为奇数, \\ n - 7, & n 为偶数, \end{cases}$则数列$\{a_n\}$的前15项和$S_{15}$的值为__________.

答案： $\frac{127}{17}$
解析：奇数项$n = 1,3,\cdots,15$（8项），$\frac{1}{n(n + 2)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2})$，和为$\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{17}) = \frac{8}{17}$。偶数项$n = 2,4,\cdots,14$（7项），为等差数列，首项$-5$，公差$2$，和为$\frac{7(-5 + 7)}{2} = 7$。$S_{15} = \frac{8}{17} + 7 = \frac{127}{17}$。

二、选择题
9. 设等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$2a_7 - a_{11} = 4$，则$S_5 = (\quad)$
A. 15 B. 20 C. 25 D. 30

答案： B
解析：$2(a_1 + 6d) - (a_1 + 10d) = a_1 + 2d = 4$，$S_5 = 5a_1 + 10d = 5(a_1 + 2d) = 5 × 4 = 20$。

10. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，若相邻两层中的下一层灯的盏数是上一层灯的盏数的2倍，则塔的顶层灯的盏数是$(\quad)$
A. 1 B. 3 C. 5 D. 9

答案： B
解析：设顶层$a_1$，公比$2$，$S_7 = a_1(2^7 - 1) = 127a_1 = 381$，$a_1 = 3$。

11. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_7 ＞ S_8$，$S_8 = S_9 ＜ S_{10}$，则下面结论错误的是(\quad)
A. $a_9 = 0$ B. $S_{15} ＞ S_{14}$ C. $d ＜ 0$ D. $S_8$与$S_9$均为$S_n$的最小值

答案： C
解析：$S_8 - S_7 = a_8 ＜ 0$，$S_9 - S_8 = a_9 = 0$，$S_{10} - S_9 = a_{10} ＞ 0$，故$d = a_{10} - a_9 ＞ 0$，C错误。