《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

14. 已知双曲线$ C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a＞0,b＞0) $的离心率为$ \sqrt{2} $，点$ (3,-1) $在双曲线 C 上.
（1）求双曲线 C 的方程；
（2）若点$ M(-2,0) $，试问：是否存在直线 l，使得点 M 在以 AB 为直径的圆上？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由；
（3）点$ P(-4,2) $，直线 AP 交直线$ x = -2 $于点 Q. 设直线 QA、QB 的斜率分别为$ k_1,k_2 $，求证：$ k_1 - k_2 $为定值.

答案： （1）$ \frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{8}=1 $；（2）$ y = x + 4 $或$ y = -x - 4 $；（3）见解析
解析：
（1）$ e = \sqrt{2} $，$ c = \sqrt{2}a $，$ b = a $，代入点$ (3,-1) $得$ 9 - 1 = 8 = a^2 $，方程$ \frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{8}=1 $。
（2）左焦点$ F(-4,0) $，设 l：$ y = k(x + 4) $，联立双曲线得$ (1 - k^2)x^2 - 8k^2x - 16k^2 - 8 = 0 $，$ MA \cdot MB = 0 $，解得$ k = \pm 1 $，直线$ y = x + 4 $或$ y = -x - 4 $。
（3）设$ A(x_1,y_1) $，直线 AP 交$ x = -2 $于 Q，计算得$ k_1 - k_2 = 1 $，为定值。