《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

13. 如图，在正三棱台$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，$AB=6$，$A_{1}B_{1}=4$。
（1）若$CC_{1}=\sqrt{2}$，证明：$CC_{1}\perp$平面$AA_{1}B_{1}B$；
（2）若三棱台的高为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，求平面$AA_{1}B_{1}B$与平面$BB_{1}C_{1}C$所成锐二面角的余弦值。

答案： （1）证明：下底中心$O$，上底中心$O_{1}$，$OO_{1}=\sqrt{CC_{1}^{2}-(R-R_{1})^{2}}=\sqrt{2-\left(\frac{6}{\sqrt{3}}-\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。$\overrightarrow{CC_{1}}\cdot\overrightarrow{AA_{1}}=0$，$\overrightarrow{CC_{1}}\cdot\overrightarrow{AB}=0$，故$CC_{1}\perp$平面$AA_{1}B_{1}B$。
（2）解：建立坐标系，$O(0,0,0)$，$B(3,0,0)$，$B_{1}\left(2,\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$，$C(-3,0,0)$，$C_{1}\left(-2,\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$。平面$AA_{1}B_{1}B$法向量$\overrightarrow{n_{1}}=(0,1,0)$，平面$BB_{1}C_{1}C$法向量$\overrightarrow{n_{2}}=(\sqrt{6},0,-1)$，二面角余弦值$\frac{|\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{2}}|}{|\overrightarrow{n_{1}}||\overrightarrow{n_{2}}|}=\frac{\sqrt{7}}{7}$。