《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

1. 在等差数列$\{a_{n}\}$中，若$a_{3}+a_{9}=30$，$a_{4}=11$，则数列$\{a_{n}\}$的公差为_________。

答案： 2
解析：$a_{3}+a_{9}=2a_{6}=30\Rightarrow a_{6}=15$，$a_{6}-a_{4}=2d=4\Rightarrow d=2$。

2. 数列$\{a_{n}\}$为等差数列，若$a_{1}=2$，$a_{n}=29$，公差$d=3$，则$n=$_________。

答案： 10
解析：$a_{n}=2+(n-1)×3=29\Rightarrow n=10$。

3. 等比数列$\{a_{n}\}$中，若$a_{1}=1$，$a_{3}=4$，则公比$q=$_________。

答案： $\pm2$
解析：$a_{3}=a_{1}q^{2}\Rightarrow q^{2}=4\Rightarrow q=\pm2$。

4. 等差数列$\{a_{n}\}$的公差不为零，其前$n$项和为$S_{n}$，若$a_{7}=3a_{4}$，则$\frac{S_{10}}{S_{4}}$的值为_________。

答案： 不存在（或题目有误）
解析：$a_{7}=3a_{4}\Rightarrow a_{1}=-3d/2$，$S_{4}=0$，分母为零无意义。

5. 在等差数列$\{a_{n}\}$中，其前$n$项和为$S_{n}$。若公差$d=1$，$S_{20}=200$，则$\sum_{i=1}^{10}a_{2i}=$_________。

答案： 105
解析：$S_{20}=20a_{1}+190=200\Rightarrow a_{1}=0.5$，$a_{2i}=2i-0.5$，$\sum_{i=1}^{10}(2i-0.5)=105$。

6. 一个弹性小球从$10m$自由落下，着地后反弹到原来高度的$\frac{3}{4}$处，再次自由落下，又弹回到上一次高度的$\frac{3}{4}$处，若这个小球能无限次反弹，则这个小球在运动中所经过的总路程为_________。

答案： 70m
解析：总路程$10+2×10×\frac{3}{4}+2×10×\left(\frac{3}{4}\right)^{2}+\cdots=10+\frac{20×\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}}=70$。

7. 若数列$\{a_{n}\}$中的前$n$项和$S_{n}=3^{n}-2$（$n$为正整数），则数列$\{a_{n}\}$的通项公式$a_{n}=$_________。

答案： $\begin{cases}1, & n=1 \\ 2×3^{n-1}, & n\geq2\end{cases}$
解析：$n=1$时$a_{1}=1$；$n\geq2$时$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=2×3^{n-1}$。

8. 等比数列$\{a_{n}\}$中，若$a_{1}=1$，且$4a_{1},2a_{2},a_{3}$成等差数列，则$\frac{a_{n}}{n}$（$n$为正整数）的最小值为_________。

答案： 1
解析：$4a_{2}=4a_{1}+a_{3}\Rightarrow q=2$，$a_{n}=2^{n-1}$，$\frac{a_{n}}{n}$最小值为1（$n=1,2$时）。

9. 设$x\in\mathbf{R}$，若$x,2x+2,3x+3$成等比数列，则$x$的值为 （ ）
A. 4
B. -4
C. 2
D. 1

答案： B
解析：$(2x+2)^{2}=x(3x+3)\Rightarrow x^{2}+5x+4=0\Rightarrow x=-4$，故选B。

10. 若数列$\{a_{n}\}$是等比数列，则下面的数列中必为等比数列的是 （ ）
①$\{|a_{n}|\}$；
②$\{a_{n}-a_{n+1}\}$；
③$\left\{\frac{(-1)^{n}}{a_{n}}\right\}$；
④$\{3^{a_{n}}\}$。
A. ①③
B. ①②③
C. ①②
D. ③④

答案： A
解析：①$|a_{n}|$是等比数列；③$\frac{(-1)^{n}}{a_{n}}$是等比数列，故选A。

11. 已知数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=n^{2}-\lambda n$（$\lambda\in\mathbf{R}$），若$\{a_{n}\}$为严格增数列，则实数$\lambda$的取值范围是 （ ）
A. $(-\infty,2)$
B. $(-\infty,1)$
C. $(-\infty,0)$
D. $(-\infty,3)$

答案： D
解析：$a_{n+1}-a_{n}=2n+1-\lambda＞0\Rightarrow\lambda＜2n+1$恒成立，$\lambda＜3$，故选D。