《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

14. 已知数列$\{a_{n}\}$与$\{b_{n}\}$满足$a_{n+1}-a_{n}=\lambda(b_{n+1}-b_{n})$（$\lambda$为非零常数），$n$为正整数。
（1）若$\{b_{n}\}$是等差数列，求证：数列$\{a_{n}\}$也是等差数列；
（2）若$a_{1}=2$，$\lambda=3$，$b_{n}=\sin\frac{n\pi}{2}$，求数列$\{a_{n}\}$的前2025项和。

答案： （1）证明：$\{b_{n}\}$等差，$b_{n+1}-b_{n}=d$，则$a_{n+1}-a_{n}=\lambda d$，故$\{a_{n}\}$等差。
（2）解：$b_{n}$周期4，$a_{n}=2+3\sum_{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})=2+3(b_{n}-b_{1})$。前2025项和$S_{2025}=2025×2+3\sum_{n=1}^{2025}(b_{n}-1)=4050+3(506×0 + b_{2025}-2025)=6075$。