《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

13. 已知$a ＞ 0$，$b ＞ 0$且$a + b ＞ 2$，求证：$\frac{1 + b}{a}$和$\frac{1 + a}{b}$中至少有一个小于2.

答案： 证明：假设$\frac{1 + b}{a} \geq 2$且$\frac{1 + a}{b} \geq 2$，则$1 + b \geq 2a$，$1 + a \geq 2b$。两式相加得$2 + a + b \geq 2a + 2b$，即$a + b \leq 2$，与$a + b ＞ 2$矛盾。故假设不成立，原命题得证。

14. 已知正实数集$A = \{a_1, a_2, \cdots, a_n\}$，定义：$A^2 = \{a_i a_j \mid a_i, a_j \in A\}$称为$A$的平方集。记$n(A)$为集合$A$中的元素个数。
(1) 若$A = \{1, 2, 3, 4\}$，求集合$A^2$和$n(A^2)$；
(2) 若$n(A^2) = 2016$，求$n(A)_{min}$；
(3) 求证：$n(A^2) \geq 2n(A) - 1$，并指出等号成立条件.

答案：
(1) $A^2 = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16\}$，$n(A^2) = 9$；
(2) $64$；
(3) 证明：设$A$中元素递增$a_1 ＜ a_2 ＜ \cdots ＜ a_k$，则$a_1 a_1 ＜ a_1 a_2 ＜ \cdots ＜ a_1 a_k ＜ a_2 a_k ＜ \cdots ＜ a_k a_k$，至少有$k + (k - 1) = 2k - 1$个元素，即$n(A^2) \geq 2n(A) - 1$，等号成立当且仅当$A$是正项等比数列。
解析：
(1) 计算所有乘积去重得$A^2 = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16\}$，元素个数为9；
(2) 由$n(A^2) \geq 2n(A) - 1$，令$2k - 1 \leq 2016$，$k \leq 1008.5$，但$k = 64$时$64 × 64 = 4096$，经分析最小$n(A) = 64$；
(3) 利用递增元素乘积的单调性证明，等号成立于等比数列。