《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

一、填空题
1. 若$a＞0$，则$\sqrt[4]{a\sqrt[3]{a}}$的分数指数幂形式为$\underline{\quad\quad}$.

答案： $a^{\frac{1}{3}}$
解析：$\sqrt[4]{a\sqrt[3]{a}}=\sqrt[4]{a\cdot a^{\frac{1}{3}}}=\sqrt[4]{a^{\frac{4}{3}}}=a^{\frac{1}{3}}$。

2. 若$2^m=3$，$2^n=5$，则$2^{m + n}=\underline{\quad\quad}$.

答案： 15
解析：$2^{m + n}=2^m\cdot2^n=3×5=15$。

3. 若函数$f_1(x)=x^{\frac{1}{3}}$，$f_2(x)=x^{-1}$，$f_3(x)=x^2$，则$f_1(f_2(f_3(2026)))=\underline{\quad\quad}$.

答案： $2026^{-\frac{2}{3}}$
解析：$f_3(2026)=2026^2$，$f_2(f_3(2026))=(2026^2)^{-1}=2026^{-2}$，$f_1(f_2(f_3(2026)))=(2026^{-2})^{\frac{1}{3}}=2026^{-\frac{2}{3}}$。

4. 若$\lg2=a$，$\lg3=b$，则用$a$、$b$表示$\log_{18}15=\underline{\quad\quad}$.

答案： $\dfrac{1 + b - a}{a + 2b}$
解析：$\log_{18}15=\dfrac{\lg15}{\lg18}=\dfrac{\lg3 + \lg5}{\lg2 + 2\lg3}=\dfrac{b + 1 - a}{a + 2b}$。

5. 若$\sqrt{(a^2 - 1)(a - 1)}=(1 - a)\sqrt{a + 1}$恒成立，则实数$a$的取值范围为$\underline{\quad\quad}$.

答案： $[-1,1]$
解析：左边$=\sqrt{(a - 1)^2(a + 1)}=|a - 1|\sqrt{a + 1}$，右边$=(1 - a)\sqrt{a + 1}$，
则$|a - 1|=1 - a$且$a + 1\geq0$，解得$-1\leq a\leq1$。

6. 若$a^{2x}=5$，则$\dfrac{a^{3x}-a^{-3x}}{a^x - a^{-x}}=\underline{\quad\quad}$.

答案： $\dfrac{31}{5}$
解析：分子$=a^{3x}-a^{-3x}=(a^x - a^{-x})(a^{2x} + 1 + a^{-2x})$，
原式$=a^{2x} + 1 + a^{-2x}=5 + 1 + \dfrac{1}{5}=\dfrac{31}{5}$。

7. 若$a=\dfrac{2026^{\frac{1}{n}} - 2026^{-\frac{1}{n}}}{2}(n\in\mathbf{N},n\geq1)$，则$(\sqrt{1 + a^2}-a)^n$的值为$\underline{\quad\quad}$.

答案： $\dfrac{1}{2026}$
解析：$\sqrt{1 + a^2}=\dfrac{2026^{\frac{1}{n}} + 2026^{-\frac{1}{n}}}{2}$，$\sqrt{1 + a^2}-a=2026^{-\frac{1}{n}}$，
原式$=(2026^{-\frac{1}{n}})^n=2026^{-1}=\dfrac{1}{2026}$。

8. 若$2\lg(x - 2y)=\lg x + \lg y$，则$\dfrac{x}{y}$的值为$\underline{\quad\quad}$.

答案： 4
解析：$\lg(x - 2y)^2=\lg(xy)$，$(x - 2y)^2=xy$，$x^2 - 5xy + 4y^2=0$，
解得$x=4y$（$x=y$舍去），$\dfrac{x}{y}=4$。

二、选择题
9. 若代数式$\sqrt{2x - 1}+\sqrt{2 - x}$有意义，则$\sqrt{4x^2 - 4x + 1}+2\sqrt{(x - 2)^4}$等于（ ）
A. 2 B. 3 C. $2x - 1$ D. $x - 2$

答案： B
解析：由题意$\dfrac{1}{2}\leq x\leq2$，原式$=|2x - 1| + 2|x - 2|=2x - 1 + 2(2 - x)=3$。

10. 某灭活疫苗的有效保存时间$T$（单位：$h$）与储藏的温度$t$（单位：$^{\circ}C$）满足的函数关系为$T=e^{kt + b}$（$k$、$b$为常数，其中$e=2.71828\cdots$），超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在$0^{\circ}C$时的有效保存时间是$1080\ h$，在$10^{\circ}C$时的有效保存时间是$120\ h$，则该疫苗在$15^{\circ}C$时的有效保存时间为（ ）
A. $15\ h$ B. $30\ h$ C. $40\ h$ D. $60\ h$

答案： C
解析：由$t=0$时$T=1080$得$e^b=1080$；$t=10$时$T=120$得$e^{10k}=\dfrac{1}{9}$，
$t=15$时$T=1080×(e^{10k})^{\frac{3}{2}}=1080×\left(\dfrac{1}{9}\right)^{\frac{3}{2}}=40\ h$。