《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

三､解答题
12. 已知椭圆$C:\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a＞b\geq1)$的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其上焦点到直线$bx+2ay-\sqrt{2}=0$的距离为$\frac{\sqrt{2}}{3}$。
（1）求椭圆$C$的方程；
（2）过点$P\left(\frac{1}{3},0\right)$的直线$l$交椭圆$C$于$A、B$两点，试探究以线段$AB$为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由.

答案： （1）$\frac{y^2}{2}+x^2=1$；（2）过定点$(1,0)$
解析：（1）$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$b^2=\frac{a^2}{2}$，上焦点到直线距离$\frac{|2ac-\sqrt{2}|}{\sqrt{b^2+4a^2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\Rightarrow a^2=2$，$b^2=1$。
（2）设直线$l:y=k\left(x-\frac{1}{3}\right)$，联立椭圆得$(k^2+2)x^2-\frac{2k^2}{3}x+\frac{k^2}{9}-2=0$，以$AB$为直径的圆过定点$(1,0)$。