《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

11. 设 $M、N$ 为两个随机事件，给出以下命题：
① 若 $M、N$ 为互斥事件，且 $P(M)=\frac{1}{5}, P(N)=\frac{1}{4}$，则 $P(M\cup N)=\frac{9}{20}$；
② 若 $P(M)=\frac{1}{2}, P(N)=\frac{1}{3}, P(M\cap N)=\frac{1}{6}$，则 $M、N$ 为相互独立事件；
③ 若 $P(\overline{M})=\frac{1}{2}, P(N)=\frac{1}{3}, P(M\cap N)=\frac{1}{6}$，则 $M、N$ 为相互独立事件；
④ 若 $P(M)=\frac{1}{2}, P(\overline{N})=\frac{1}{3}, P(M\cap N)=\frac{1}{6}$，则 $M、N$ 为相互独立事件；
⑤ 若 $P(M)=\frac{1}{2}, P(N)=\frac{1}{3}, P(\overline{M}\cap\overline{N})=\frac{5}{6}$，则 $M、N$ 为相互独立事件．
其中正确命题的个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： C
解析：
① 互斥事件 $P(M\cup N)=P(M)+P(N)=\frac{1}{5}+\frac{1}{4}=\frac{9}{20}$，正确；
② $P(M)P(N)=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}=P(M\cap N)$，独立，正确；
③ $P(M)=1 - P(\overline{M})=\frac{1}{2}$，$P(M)P(N)=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}=P(M\cap N)$，独立，正确；
④ $P(N)=1 - P(\overline{N})=\frac{2}{3}$，$P(M)P(N)=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}≠\frac{1}{6}$，不独立，错误；
⑤ $P(M\cup N)=1 - P(\overline{M}\cap\overline{N})=\frac{1}{6}$，$P(M)+P(N)-P(M\cap N)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-P(M\cap N)=\frac{5}{6}-P(M\cap N)=\frac{1}{6}$，得$P(M\cap N)=\frac{2}{3}$，$P(M)P(N)=\frac{1}{6}≠\frac{2}{3}$，不独立，错误。
正确命题为①②③，共 3 个。

12. 小陈和小李进行比赛，小陈实力较差，即每一局赢的概率小于$\frac{1}{2}$．请你帮小陈出出主意，A 方案：一局定胜负；B 方案：三局两胜，三局结束．请你判断哪种方案更有利于小陈？

答案： A 方案更有利
解析：设小陈每局赢的概率为 $p$（$0 ＜ p ＜ \frac{1}{2}$）。
- A 方案：小陈胜率为 $p$；
- B 方案：小陈需赢 2 局，概率为$C_2^2p^2 + C_2^1p(1 - p)p = p^2 + 2p^2(1 - p) = p^2(3 - 2p)$。
比较 $p$ 与 $p^2(3 - 2p)$：$p^2(3 - 2p) ＜ p$（因为$p(3 - 2p) = -2p^2 + 3p ＜ 1$，$p ＜ \frac{1}{2}$时$-2p^2 + 3p ＜ 1$），故 A 方案更有利。