《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

1. 在$\triangle ABC$中，角$A、B、C$的对边分别为$a、b、c$，若$b=2,c=3,\sin B=\frac{1}{3}$，则角$C$的大小为_________.

答案： $\frac{\pi}{6}$或$\frac{5\pi}{6}$
由正弦定理$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\Rightarrow\sin C=\frac{c\sin B}{b}=\frac{3×\frac{1}{3}}{2}=\frac{1}{2}$，$c＞b\Rightarrow C＞B$，所以$C=\frac{\pi}{6}$或$\frac{5\pi}{6}$。

2. 在$\triangle ABC$中，角$A、B、C$的对边分别为$a、b、c$，若$a=4,b=5,c=6$，则$\sin C=$_________.

答案： $\frac{3\sqrt{7}}{8}$
$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{16+25-36}{40}=\frac{1}{8}$，$\sin C=\sqrt{1-\frac{1}{64}}=\frac{3\sqrt{7}}{8}$。

3. 在$\triangle ABC$中，角$A、B、C$的对边分别为$a、b、c$，若$a=1,\cos A=\frac{4}{5},\cos B=\frac{5}{13}$，则$b=$_________.

答案： $\frac{20}{13}$
$\sin A=\frac{3}{5}$，$\sin B=\frac{12}{13}$，由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\Rightarrow b=\frac{1×\frac{12}{13}}{\frac{3}{5}}=\frac{20}{13}$。

4. 在$\triangle ABC$中，若$\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{a}{c},(b+c+a)(b+c-a)=3bc$，则$\triangle ABC$的形状为_________.

答案： 等边三角形
$\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{a}{c}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{a}{c}\Rightarrow b=c$。$(b+c+a)(b+c-a)=3bc\Rightarrow(b+c)^2-a^2=3bc\Rightarrow a^2=b^2\Rightarrow a=b$，所以$a=b=c$。