《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

14. 设$a,m\in\mathbf{R}$，$f(x)=\ln x+\frac{a}{x}$，$g(x)=f(x)-\frac{1}{x}+m(\frac{1}{x^{2}}-1)$。已知函数$y=f(x)$的极小值为$1$。
（1）求$a$的值；
（2）若$0＜m＜\frac{1}{2}$，求证：对任意$x\in(0,\frac{m}{1-m})$，都有$g(x)＞0$；
（3）若函数$y=g(x)$有两个零点，求$m$的取值范围。

答案： （1）$1$；（2）见解析；（3）$(\frac{1}{2},+\infty)$
解析：（1）$f'(x)=\frac{x-a}{x^{2}}$，极小值$f(a)=\ln a+1=1\Rightarrow a=1$。
（2）$g(x)=\ln x+\frac{m}{x^{2}}-m$，求导得在$x\in(0,\frac{m}{1-m})$时$g(x)＞0$。
（3）$g'(x)=\frac{x^{2}-2m}{x^{3}}$，极小值点$x=\sqrt{2m}$，$m＞\frac{1}{2}$时极小值小于$0$，有两个零点。