《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

14. 已知向量$\overrightarrow{a}=(1,-\sqrt{3})$,向量$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为$\frac{2\pi}{3}$，且$|\overrightarrow{b}|=2$。
（1）求向量$\overrightarrow{b}$的坐标；
（2）设向量$\overrightarrow{c}=(\sin x,\cos x)$（$x\in\mathbf{R}$），向量$\overrightarrow{m}=(-\sqrt{3},1)$。若$\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{m}=0$，求$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|$的最大值并求出此时x的取值集合。

答案： （1）$(-2,0)$或$(1,\sqrt{3})$；（2）最大值3，取值集合$\{x|x=\frac{\pi}{6}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}\}$
解析：（1）设$\overrightarrow{b}=(x,y)$，$x^2+y^2=4$，$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x-\sqrt{3}y=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\frac{2\pi}{3}=2×2×(-\frac{1}{2})=-2$。联立解得$\begin{cases}x=-2\\y=0\end{cases}$或$\begin{cases}x=1\\y=\sqrt{3}\end{cases}$。
（2）$\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{m}=0$，则$\overrightarrow{b}=(1,\sqrt{3})$。$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=(1+\sin x,\sqrt{3}+\cos x)$，$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2=(1+\sin x)^2+(\sqrt{3}+\cos x)^2=5+4\sin(x+\frac{\pi}{3})$，最大值为$3$，此时$x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+2k\pi$，$x=\frac{\pi}{6}+2k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$。