《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

1. 命题“a,b∈Z,如果a,b都是奇数,那么a+b是偶数”是______（填“真”或“假”）命题.

答案： 真
解析：奇数+奇数=偶数，真命题.

2. 用反证法证明“设a³+b³=2，求证：a+b≤2”时,第一步的假设是______.

答案： a+b＞2
解析：反证法假设结论反面，即a+b＞2.

5. “x≤1且y≤1”的否定形式是______.

答案： x＞1或y＞1
解析：“且”的否定为“或”，否定形式x＞1或y＞1.

6. 设p:ln(2x-1)≤0,q:(x-a)[x-(a+1)]≤0,若q是p的必要非充分条件,则实数a的取值范围是______.

答案： [0,1/2]
解析：p:1/2＜x≤1，q:a≤x≤a+1，p⇒q且q⇏p，故a≤1/2且a+1≥1→0≤a≤1/2.

7. 若命题“对于任意x∈R,ax²+1≥0”为真命题,则实数a的取值范围是______.

答案： [0,+∞)
解析：a=0时1≥0成立；a＞0时ax²+1≥0恒成立；a＜0不成立，故a≥0.

8. 已知函数y=f(x)和y=g(x),其中f(x)=x²-2x,g(x)=ax+2(a＞0),若对任意x₁∈R，都存在实数x₂∈[-2,+∞),使得f(x₁)＞g(x₂),则实数a的取值范围是______.

答案： (3/2,+∞)
解析：f(x)min=-1，g(x)在[-2,+∞)上min=g(-2)=-2a+2，需-1 ＞ -2a+2→a＞3/2.

9. 已知a、b为非零实数,下列四个条件中,使a＞b成立的充分非必要的条件是（ ）
A. a＞b-1 B. a²＞b² C. 2ᵃ＞2ᵇ D. log₂a＞log₂b

答案： D
解析：log₂a＞log₂b⇒a＞b＞0⇒a＞b，反之a＞b推不出log₂a＞log₂b（如a,b负），充分非必要条件，选D.

10. 已知条件p:(x-m)(x-m-3)＞0;条件q:x²+3x-4＜0.若p是q的必要非充分条件,则实数m的取值范围是（ ）
A. (-∞,-7)∪(1,+∞) B. (-∞,-7]∪[1,+∞) C. (-7,1) D. [-7,1]

答案： B
解析：p:x＜m或x＞m+3，q:-4＜x＜1，q⇒p且p⇏q，故m≥1或m+3≤-4→m∈(-∞,-7]∪[1,+∞)，选B.

11. 17世纪,法国数学家费马提出猜想:“对任意正整数n＞2,关于x、y、z的方程xⁿ+yⁿ=zⁿ没有正整数解”.经历300多年,1995年英国数学家怀尔斯给出了证明,使它终成费马大定理.费马大定理的否定形式为（ ）
A. 对任意正整数n＞2,关于x、y、z的方程xⁿ+yⁿ=zⁿ都没有正整数解
B. 对任意正整数n＞2,关于x、y、z的方程xⁿ+yⁿ=zⁿ至少存在一组正整数解
C. 存在正整数n≤2,关于x、y、z的方程xⁿ+yⁿ=zⁿ至少存在一组正整数解
D. 存在正整数n＞2,关于x、y、z的方程xⁿ+yⁿ=zⁿ至少存在一组正整数解

答案： D
解析：原命题否定为“存在正整数n＞2，方程至少有一组正整数解”，选D.

12. 指出下列各组命题中，$p$是$q$的什么条件？
① $p$：一个四边形是矩形，$q$：四边形的对角线相等；
② $p$：$|x| ＞ 1$，$q$：$x ＜ -1$；
③ $p$：$a + b ＞ 0$，$q$：$a ＞ 0$且$b ＞ 0$；
④ $p$：$a + 5$是无理数，$q$：$a$是无理数.

答案： ①充分非必要条件；②必要非充分条件；③必要非充分条件；④充要条件
解析：①矩形对角线相等，但对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），故充分非必要；②$|x| ＞ 1$等价于$x ＞ 1$或$x ＜ -1$，$q$能推出$p$，$p$不能推出$q$，故必要非充分；③$a ＞ 0$且$b ＞ 0$能推出$a + b ＞ 0$，但$a + b ＞ 0$不能推出$a ＞ 0$且$b ＞ 0$（如$a = 3$，$b = -1$），故必要非充分；④$a + 5$是无理数$\Leftrightarrow a$是无理数，故充要条件。