《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

12. 已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，$a_{n}=3a_{n-1}+4$（$n$为正整数，$n\geq2$）。
（1）求证：数列$\{a_{n}+2\}$是等比数列；
（2）求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
（3）求$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{a_{2i}+2}$的值。

答案： （1）证明：$a_{n}+2=3(a_{n-1}+2)$，$a_{1}+2=3$，故$\{a_{n}+2\}$是首项3，公比3的等比数列。
（2）解：$a_{n}+2=3^{n}\Rightarrow a_{n}=3^{n}-2$。
（3）解：$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{a_{2i}+2}=\sum_{i=1}^{\infty}\left(\frac{1}{9}\right)^{i}=\frac{\frac{1}{9}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{1}{8}$。

13. 在等差数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=2$且$a_{2},a_{3}+2,a_{8}$构成等比数列。
（1）求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
（2）令$b_{n}=2^{a_{n}}+9$，记$S_{n}$为数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和，若$S_{n}\geq2022$，求正整数$n$的最小值。

答案： （1）解：$(a_{3}+2)^{2}=a_{2}a_{8}\Rightarrow d=2$，$a_{n}=2n$。
（2）解：$b_{n}=4^{n}+9$，$S_{n}=\frac{4(4^{n}-1)}{3}+9n\geq2022$，解得$n_{\min}=6$。