《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

13. 某商场零食区改造...
(1)若需在区域OABC外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度；
(2)在区域OAD中，设置矩形区域HGIF作为促销展示区...求当θ取何值时，促销展示区HGIF的面积S取到最大值，并求出S的最大值.

答案：
(1)在Rt△OBC中，OC=10√3，BC=10，∠OCB=π/2，故OB=√(OC²+BC²)=20，∠BOC=π/6.弧AB半径OA=OB=20，∠AOB=π/6，弧长AB=20×π/6=10π/3.广告带总长=OC+BC+弧AB=10√3+10+10π/3≈37.32.
(2)设OA=r，θ∈(0,π/6)，IG=OG=r cosθ，HG=GT=r sinθ−IG tanθ=r(sinθ−cosθ tanθ)=r sinθ(1−tan²θ).面积S=IG·HG=r² sinθ cosθ (1−tan²θ)=r² sinθ cosθ (cos2θ)/cos²θ=r² sinθ cos2θ /cosθ.令t=cosθ，S=r² √(1−t²)(2t²−1)/t，求导得θ=π/12时S最大，S_max=75 m².