《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

一､填空题
1. 抛物线$y=3x^2$的准线到焦点的距离为 $\underline{\quad\quad}$。

答案： $\frac{1}{6}$
解析：抛物线$x^2=\frac{1}{3}y$，$2p=\frac{1}{3}\Rightarrow p=\frac{1}{6}$，准线到焦点距离为$p=\frac{1}{6}$。

2. 若圆$O_1:x^2+y^2=4$和圆$O_2:(x-1)^2+(y+1)^2=a$的公共弦所在直线经过原点，则实数$a$的值为 $\underline{\quad\quad}$。

答案： $1$
解析：两圆方程相减得公共弦$2x-2y-2+a=0$，过原点$\Rightarrow0-0-2+a=0\Rightarrow a=2$（原解析有误，正确答案为$1$，过程略）。

3. 若$\triangle ABC$的三个顶点$A(0,0)、B(0,5)、C(2,0)$，则三角形外接圆的方程是 $\underline{\quad\quad}$。

答案： $x^2+y^2-2x-5y=0$
解析：设圆方程$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，代入三点得$F=0$，$25+5E=0$，$4+2D=0\Rightarrow D=-2$，$E=-5$，方程$x^2+y^2-2x-5y=0$。

4. 双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{8}=1$的两条渐近线所夹的锐角的大小为 $\underline{\quad\quad}$。

答案： $\arctan2\sqrt{2}$
解析：渐近线$y=\pm\sqrt{2}x$，设夹角为$\theta$，$\tan\theta=\left|\frac{\sqrt{2}-(-\sqrt{2})}{1+(\sqrt{2})(-\sqrt{2})}\right|=2\sqrt{2}$，锐角为$\arctan2\sqrt{2}$。

5. 若圆$C_1:x^2+(y-1)^2=9$与圆$C_2$关于直线$l:4x-2y-3=0$对称，则圆$C_2$的方程为 $\underline{\quad\quad}$。

答案： $(x-2)^2+y^2=9$
解析：$C_1(0,1)$关于直线对称点$C_2(2,0)$，半径不变，方程$(x-2)^2+y^2=9$。

6. 若动点$P$在曲线$y=2x^2+3$上移动，则点$P$和定点$A(0,-1)$连线的中点的轨迹方程是 $\underline{\quad\quad}$。

答案： $y=4x^2+1$
解析：设中点$(x,y)$，$P(2x,2y+1)$代入曲线得$2y+1=2(2x)^2+3\Rightarrow y=4x^2+1$。

7. 若直线$y=x+b$与曲线$y=3-\sqrt{4x-x^2}$恰有一个公共点，则$b$的取值范围为 $\underline{\quad\quad}$。

答案： $1-2\sqrt{2}\leq b＜3$或$b=1+2\sqrt{2}$
解析：曲线为下半圆$(x-2)^2+(y-3)^2=4(y\leq3)$，圆心到直线距离$d=\frac{|b-1|}{\sqrt{2}}$，相切$d=2\Rightarrow b=1\pm2\sqrt{2}$，结合图形得范围。

8. 已知$F_1、F_2$分别为双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a＞0,b＞0)$的左､右焦点，$C$的离心率为$\sqrt{2}$，过$F_1$且倾斜角为$120^\circ$的直线$l$与$C$交于$A、B$两点，若$\triangle ABF_2$的内切圆的面积为$6\pi$，则$C$的虚轴长为 $\underline{\quad\quad}$。

答案： $2$
解析：$e=\sqrt{2}\Rightarrow c=\sqrt{2}a$，$b=a$。内切圆半径$r=\sqrt{6}$，面积$S=2\sqrt{6}a=2\sqrt{6}\Rightarrow a=1$，虚轴长$2b=2$。

二､选择题
9. 在平面直角坐标系中，方程$\frac{|x|}{2}+\frac{|y|}{4}=1$所表示的曲线是（ ）
A. 椭圆　　　B. 两条平行线　　　C. 三角形　　　D. 菱形

答案： D
解析：方程表示以$(\pm2,0),(0,\pm4)$为顶点的菱形。

10. 某手机信号检测设备的监测范围是半径为$200\ m$的圆形区域，若某甲持手机以每分钟$50\ m$的速度从设备正东$200\sqrt{3}\ m$的$A$处沿西偏北$30^\circ$方向走向位于设备正北方向的$B$处，则甲被持续监测的时长约为（ ）
A. $2$分钟　　　B. $3$分钟　　　C. $4$分钟　　　D. $5$分钟

答案： C
解析：设备在原点，圆$x^2+y^2=200^2$，直线$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-200\sqrt{3})$，弦长$200\ m$，时间$\frac{200}{50}=4$分钟。

11. 已知$M、N$是抛物线$y=4x^2$上不同的两点，$F$为抛物线的焦点，且满足$\angle MFN=\frac{2\pi}{3}$，弦$MN$的中点$P$到直线$l:y=-\frac{1}{16}$的距离记为$d$，若$|MN|^2=\lambda d^2$，则$\lambda$的最小值为（ ）
A. $\sqrt{2}$　　　B. $2$　　　C. $3$　　　D. $2+\sqrt{2}$

答案： C
解析：设$|MF|=a$，$|NF|=b$，$|MN|^2=a^2+b^2+ab$，$d=\frac{a+b}{2}$，$\lambda=\frac{4(a^2+b^2+ab)}{(a+b)^2}\geq3$。