《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

4. 函数$y=2\sin x-\sin2x$在$[0,\pi]$所有零点之和为_________.

答案： $\pi$
解析：$y=2\sin x(1-\cos x)$，零点为$x=0,\pi$，和为$0+\pi=\pi$。

5. 设$a\in\mathbf{R}$，$f(x)=\begin{cases}2^{x},&x＞1\\-x,&x\leq1\end{cases}$。若关于$x$的方程$f(x)=a$恰有一解，则$a$的取值范围为_________.

答案： $[-1,2]$
解析：$x＞1$时$2^{x}＞2$；$x\leq1$时$-x\geq-1$。结合图像，恰有一解时$a\in[-1,2]$。

6. 若关于$x$的方程$(\frac{1}{3})^{x}+m=\sqrt{x+1}$在实数范围内有解，则实数$m$的取值范围为_________.

答案： $[-3,+\infty)$
解析：$m=\sqrt{x+1}-(\frac{1}{3})^{x}$，令$t=\sqrt{x+1}\geq0$，$m=t-3(\frac{1}{3})^{t^{2}}$，函数单调递增，最小值为$-3$，故$m\geq-3$。

7. 对于定义在集合$D$上的函数$y=f(x)$，若存在实数$x_{0}$满足$f(x_{0})=x_{0}$，则称$x_{0}$叫做函数$y=f(x)$的一个不动点，若$f(x)=x^{2}+2mx+4$，$D=[1,2]$没有不动点，则实数$m$的取值范围是_________.

答案： $(-2,+\infty)$
解析：方程$x^{2}+(2m-1)x+4=0$在$[1,2]$无解，分判别式小于0、对称轴位置讨论，解得$m\in(-2,+\infty)$。

8. 若关于$x$的方程$e^{x}-3ax=0$有两个不同的实根$x_{1},x_{2}$，且$x_{1}＞3x_{2}$，则实数$a$的取值范围为_________.

答案： $(\frac{e}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3\ln3})$
解析：$a=\frac{e^{x}}{3x}$，设$x_{1}=3x_{2}$，解得临界值$a=\frac{2\sqrt{3}}{3\ln3}$，结合单调性得$a\in(\frac{e}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3\ln3})$。

9. 函数$y=\frac{|x^{2}-4|}{x}$的图像大致是（ ）
A.
B.
C.
D.

答案： D
解析：$x＞0$时，$y=\frac{|x^{2}-4|}{x}$在$(0,2)$递减、$(2,+\infty)$递增；$x＜0$时$y＜0$，图像符合选项D。

10. 已知$f(x)=\begin{cases}x,&x＜0\\x^{2},&x\geq0\end{cases}$若关于$x$的不等式$f(x+a)\leq f(x^{2})$的解集为$\mathbf{R}$，则实数$a$的取值范围为（ ）
A. $(-\infty,-\frac{1}{4}]$
B. $(-\infty,\frac{1}{4}]$
C. $[-\frac{1}{4},+\infty)$
D. $[\frac{1}{4},+\infty)$

答案： A
解析：分$x+a＜0$和$x+a\geq0$讨论，结合特殊值$x=0,1$，解得$a\leq-\frac{1}{4}$，选A。

11. 已知$f(x)=\begin{cases}2^{x}-a,&x＞1\x-a)(4x-a),&x\leq1\end{cases}$若函数y=f(x)恰有2个零点，则实数a（ ）
A. 有最大值，没有最小值
B. 有最小值，没有最大值
C. 既有最大值，也有最小值
D. 既没有最大值，也没有最小值

答案： A
解析：$x＞1$时零点需$a＞2$，$x\leq1$时零点需$a\leq4$或$a\leq1$，综上$a$有最大值$4$，无最小值，选A。