《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

6. 已知角$\alpha、\beta$为锐角，若$\tan\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin(\alpha-\beta)=\frac{\sqrt{21}}{14}$，则$\tan(2\alpha-\beta)$的值为_________.

答案： $\sqrt{3}$
$\alpha、\beta$为锐角，$\alpha-\beta\in(0,\frac{\pi}{2})$，$\cos(\alpha-\beta)=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{21}}{14})^2}=\frac{5\sqrt{7}}{14}$，$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\sqrt{21}/14}{5\sqrt{7}/14}=\frac{\sqrt{3}}{5}$。
$\tan(2\alpha-\beta)=\tan[(\alpha-\beta)+\alpha]=\frac{\tan(\alpha-\beta)+\tan\alpha}{1-\tan(\alpha-\beta)\tan\alpha}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\frac{\sqrt{3}}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\frac{7\sqrt{3}}{10}}{\frac{7}{10}}=\sqrt{3}$。

7. 已知函数$y=f(x)$的表达式为$f(x)=2x^2-ax+7$，若存在$\varphi\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，使得$f(\sin\varphi)=f(\cos\varphi)$，则实数$a$的取值范围是_________.

答案： $(2,2\sqrt{2})$
$f(x)$对称轴为$x=\frac{a}{4}$，$f(\sin\varphi)=f(\cos\varphi)\Rightarrow\frac{\sin\varphi+\cos\varphi}{2}=\frac{a}{4}\Rightarrow a=2(\sin\varphi+\cos\varphi)$。
$\varphi\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})\Rightarrow\varphi+\frac{\pi}{4}\in(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4})$，$\sin\varphi+\cos\varphi=\sqrt{2}\sin(\varphi+\frac{\pi}{4})\in(1,\sqrt{2})$，所以$a\in(2,2\sqrt{2})$。

8. 若实数$x_1、x_2、y_1、y_2$满足$x_1^2+y_1^2=1,x_2^2+y_2^2=4,x_1x_2+y_1y_2=1$，则$x_1+x_2$的最大值为_________.

答案： $\sqrt{7}$
设$\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2)$，$|\vec{a}|=1$，$|\vec{b}|=2$，$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\Rightarrow\cos\theta=\frac{1}{2}\Rightarrow\theta=60^\circ$。
设$\vec{a}=(\cos\alpha,\sin\alpha)$，$\vec{b}=(2\cos(\alpha+60^\circ),2\sin(\alpha+60^\circ))$，则$x_1+x_2=\cos\alpha+2\cos(\alpha+60^\circ)=2\cos\alpha-\sqrt{3}\sin\alpha$，最大值为$\sqrt{2^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{7}$。

9. 把$\cos^2x+3\sin^2x+2\sqrt{3}\sin x\cos x$化成$A\sin(\omega x+\varphi)+B$的形式为（ ）
A. $2\sin(2x-\frac{\pi}{6})+2$
B. $2\sin(2x-\frac{\pi}{3})+2$
C. $2\sin(2x+\frac{\pi}{6})+2$
D. $2\sin(2x+\frac{\pi}{3})+2$

答案： A
原式$=1+2\sin^2x+\sqrt{3}\sin2x=2-\cos2x+\sqrt{3}\sin2x=\sqrt{3}\sin2x-\cos2x+2=2\sin(2x-\frac{\pi}{6})+2$。

10. 若$\cos(\frac{\pi}{2}+2\alpha)-4\sin^2\alpha=-2$，则$\tan2\alpha$等于（ ）
A. $-2$
B. $-\frac{1}{2}$
C. $2$
D. $\frac{1}{2}$

答案： C
$\cos(\frac{\pi}{2}+2\alpha)=-\sin2\alpha$，原式$-\sin2\alpha-4\sin^2\alpha=-2\Rightarrow\sin2\alpha+4\sin^2\alpha=2\Rightarrow\sin2\alpha=2\cos2\alpha\Rightarrow\tan2\alpha=2$。

11. 已知$\alpha、\beta$均为锐角，若$\sin\alpha=2\sin\beta\cos(\alpha+\beta)$，则$\tan\alpha$取得最大值时，$\tan(\alpha+\beta)$的值为（ ）
A. $\sqrt{3}$
B. $\sqrt{2}$
C. $2$
D. $1$

答案： A
$\sin\alpha=2\sin\beta\cos(\alpha+\beta)\Rightarrow\tan\alpha=\frac{2\sin\beta\cos\beta}{1+2\sin^2\beta}=\frac{\sin2\beta}{2-\cos2\beta}$。
令$t=\cos2\beta$，$\tan\alpha=\frac{\sqrt{1-t^2}}{2-t}$，最大值时$t=\frac{1}{2}$，$\beta=\frac{\pi}{6}$，$\alpha=\frac{\pi}{6}$，$\tan(\alpha+\beta)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$。

12. 已知函数$y=f(x)$的表达式为$f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\sin x\cos x$.
（1）若$A$是三角形中一内角，且$f(A)=1$，求$A$的值；
（2）若$A\in(0,\frac{\pi}{2})$，且$f(\frac{A}{2})=\frac{5}{6}$，求$\sin A$的值.

答案： （1）$\frac{\pi}{6}$或$\frac{\pi}{2}$；（2）$\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$
（1）$f(x)=\frac{1-\cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x=\sin(2x-\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}$，$f(A)=1\Rightarrow\sin(2A-\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$。
$A\in(0,\pi)\Rightarrow2A-\frac{\pi}{6}\in(-\frac{\pi}{6},\frac{11\pi}{6})\Rightarrow2A-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$或$\frac{5\pi}{6}\Rightarrow A=\frac{\pi}{6}$或$\frac{\pi}{2}$。
（2）$f(\frac{A}{2})=\sin(A-\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}\Rightarrow\sin(A-\frac{\pi}{6})=\frac{1}{3}$。
$A\in(0,\frac{\pi}{2})\Rightarrow\cos(A-\frac{\pi}{6})=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\sin A=\sin[(A-\frac{\pi}{6})+\frac{\pi}{6}]=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$。