《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

1. 若一个圆锥的轴截面是面积为$4\sqrt{3}$的等边三角形，则该圆锥的表面积为________．

答案： 12π
设轴截面等边三角形边长为$a$，则$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=4\sqrt{3}$，$a=4$。底面半径$r=2$，母线$l=4$，表面积$S=πr^2+πrl=4π+8π=12π$。

2. 已知正方体的所有顶点在一个球面上，若这个球的表面积为$12π$，则这个正方体的体积为________．

答案： 8
球表面积$4πR^2=12π$，$R=\sqrt{3}$，正方体体对角线$2R=2\sqrt{3}$，棱长$a=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2$，体积$a^3=8$。

3. 已知球面上三点$A、B、C$，$AB=6$，$BC=8$，$AC=10$，若球半径$R=13$，则球心到平面$ABC$的距离是________．

答案： 12
$△ABC$为直角三角形，外接圆半径$r=5$，球心距$d=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{169-25}=12$。

4. 正四棱柱$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的底面边长$AB=2$，若直线$B_1C$与底面$ABCD$所成的角的大小为$\arctan2$，则正四棱柱$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的侧面积为________．

答案： 32
直线$B_1C$与底面所成角$\theta$，$\tan\theta=\frac{B_1B}{BC}=2$，$B_1B=4$，侧面积$4×2×4=32$。

5. 若圆台甲、乙的上底面半径均为$r_1$，下底面半径均为$r_2$，圆台的母线长分别为$2(r_2-r_1)$和$3(r_2-r_1)$，则圆台甲与乙的体积之比为________．

答案： $\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$（或$\frac{\sqrt{6}}{4}$）
高$h_1=\sqrt{[2d]^2-d^2}=\sqrt{3}d$，$h_2=\sqrt{[3d]^2-d^2}=2\sqrt{2}d$（$d=r_2-r_1$），体积比$\frac{h_1}{h_2}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$。

6. 有下列命题：①圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形；②圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个；③圆锥轴截面的面积是所有过顶点的截面中面积最大的一个；④当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆．其中正确命题的序号是________．

答案： ①②④
①正确；②圆柱过母线截面面积$S=2r\sin\theta·l$，$\theta=90°$时最大；③当顶角$＞90°$时非轴截面面积更大；④正确。

7. 台球是球类运动项目之一，是运动员在台球桌上，用一根长的球杆，按照一定的规则，通过击打白色主球，使目标球入袋的一项体育休闲项目．如图，三角架内有15个大小相同的球，且球与球，球与三角架均相切．若三角架是边长为$34.2$cm的等边三角形，则球的半径为________cm(精确到个位数)．

答案： 3
设球半径$r$，底层5个球心连线等边三角形边长$8r$，高$4\sqrt{3}r$，三角架高$\frac{\sqrt{3}}{2}×34.2=4\sqrt{3}r+2r$，解得$r≈3$。