《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

1. 函数$y = |2x - 3| + |2x + 5|$的最小值为__________.

答案： 8
解析：由绝对值三角不等式，$|2x - 3| + |2x + 5| = |3 - 2x| + |2x + 5| \geq |3 - 2x + 2x + 5| = 8$，最小值$8$。

2. 若$x ＞ 2$，函数$y = x + \frac{4}{x - 2}$的最小值为__________.

答案： 6
解析：令$t = x - 2 ＞ 0$，则$y = t + 2 + \frac{4}{t} \geq 2\sqrt{t \cdot \frac{4}{t}} + 2 = 6$，$t = 2$即$x = 4$时取等，最小值$6$。

3. 若关于$x$的不等式$|x - 1| - 1 \leq 2m - |x + 1|$有实数解，则实数$m$的取值范围是__________.

答案： $\left[\frac{1}{2}, +\infty\right)$
解析：不等式化为$|x - 1| + |x + 1| \leq 2m + 1$，$|x - 1| + |x + 1|$最小值为$2$，则$2 \leq 2m + 1$，解得$m \geq \frac{1}{2}$。

4. 若$x ＞ 0$、$y ＞ 0$，且$xy - (x + y) = 1$，则$x + y$的最小值为__________.

答案： $2 + 2\sqrt{2}$
解析：设$t = x + y$，则$xy = t + 1$，由$xy \leq \left(\frac{t}{2}\right)^2$得$t + 1 \leq \frac{t^2}{4}$，即$t^2 - 4t - 4 \geq 0$，解得$t \geq 2 + 2\sqrt{2}$。

5. 对任意实数$x$，若$|x - 4| - |x - 3| \leq a$恒成立，则实数$a$的取值范围是__________.

答案： $[1, +\infty)$
解析：$|x - 4| - |x - 3| \leq |(x - 4) - (x - 3)| = 1$，最大值为$1$，故$a \geq 1$。

6. 若$0 ＜ x ＜ \frac{5}{4}$，则$\sqrt{x(5 - 4x)}$的最大值为__________.

答案： $\frac{5}{4}$
解析：$\sqrt{x(5 - 4x)} = \frac{1}{2}\sqrt{4x(5 - 4x)} \leq \frac{1}{2} \cdot \frac{4x + 5 - 4x}{2} = \frac{5}{4}$，$4x = 5 - 4x$即$x = \frac{5}{8}$时取等。

7. 已知$a ＞ 0$、$b ＞ 0$，$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$，若不等式$2a + b \geq m$恒成立，则实数$m$的最大值为__________.

答案： $3 + 2\sqrt{2}$
解析：$2a + b = (2a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) = 3 + \frac{2a}{b} + \frac{b}{a} \geq 3 + 2\sqrt{2}$，$m$最大值$3 + 2\sqrt{2}$。

8. 垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，具有社会、经济、生态等诸多方面的效益，某地街道呈现东—西，南—北向的网格状，相邻街距都为$1$，两街道相交的点称为格点，若以互相垂直的两条街道为坐标轴建立平面直角坐标系，现有下述格点$(-2, 2)$、$(2, 1)$、$(2, 3)$、$(-2, 4)$、$(4, 5)$、$(6, 6)$为垃圾回收点，请确定一个格点（除回收点外）__________为垃圾集中回收站，使这$6$个回收点沿街道到回收站之间路程的和最短。

答案： $(2, 4)$
解析：横纵坐标分别取中位数，横坐标$-2, -2, 2, 2, 4, 6$中位数$2$；纵坐标$1, 2, 3, 4, 5, 6$中位数$3.5$，格点$(2, 4)$（非回收点）路程和最短。

9. 对于$|a| - |b| \leq |a + b| \leq |a| + |b|$，下列结论正确的是（ ）
A. 当$a$、$b$异号时，左边等号成立
B. 当$a$、$b$同号时，右边等号成立
C. 当$a + b = 0$时，两边等号均成立
D. 当$a + b ＞ 0$时，右边等号成立；当$a + b ＜ 0$时，左边等号成立

答案： C
解析：$a + b = 0$时，$|a + b| = 0$，$|a| - |b| = 0$，$|a| + |b| = 2|a|$，两边等号成立，选项$C$正确。

10. 下列函数，最小值为$2$的函数是（ ）
A. $y = x + \frac{1}{x}$
B. $y = x^2 - 2x + 2$
C. $y = x + 2\sqrt{x} + 3$
D. $y = \frac{x^2 + 2}{\sqrt{x^2 + 1}}$

答案： D
解析：$D$中$y = \sqrt{x^2 + 1} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \geq 2$，当$\sqrt{x^2 + 1} = 1$即$x = 0$时取等，最小值$2$。

11. 设$a ＞ 0$，$b ＞ 1$，若$a + b = 2$，则$\frac{4}{a} + \frac{1}{b - 1}$的最小值为（ ）
A. $6$
B. $9$
C. $3\sqrt{2}$
D. $18$

答案： B
解析：令$t = b - 1 ＞ 0$，则$a + t = 1$，$\frac{4}{a} + \frac{1}{t} = (a + t)\left(\frac{4}{a} + \frac{1}{t}\right) = 5 + \frac{4t}{a} + \frac{a}{t} \geq 5 + 4 = 9$，最小值$9$。