《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

一、填空题
1. 函数$ y=\dfrac{\lg(4x+1)}{\sqrt{1-x}} $的定义域为__________.

答案： $ \left( -\dfrac{1}{4},1 \right) $
解析：需$ 4x+1＞0 $且$ 1-x＞0 \Rightarrow x＞-\dfrac{1}{4} $且$ x＜1 $，定义域$ \left( -\dfrac{１}{4},1 \right) $.

2. 函数$ y=|2x-2|+|3-x| $的最小值为__________.

答案： 2
解析：分段讨论：$ x＜1 $时$ y=5-3x＞2 $；$ 1\leqslant x\leqslant3 $时$ y=x+1\in[2,4] $；$ x＞3 $时$ y=3x-5＞4 $，最小值为2.

3. 若集合$ S=\{y|y=3^{x},x\in\mathbf{R}\} $，$ T=\{y|y=1-x^{2},x\in\mathbf{R}\} $，则$ S\cap T= $__________.

答案： $ (0,1] $
解析：$ S=(0,+\infty) $，$ T=(-\infty,1] $，交集$ (0,1] $.

4. 若$ f(x)=\begin{cases} \lg x,\ \ \ \ x\in(0,2], \\ 2^{x}-8,\ \ \ x\in(2,5], \end{cases} $则函数$ y=f(x) $的零点是__________.

答案： 1,3
解析：$ \lg x=0\Rightarrow x=1\in(0,2] $；$ 2^{x}-8=0\Rightarrow x=3\in(2,5] $，零点为1,3.

5. 已知$ f(x)=\begin{cases} -x^{2}-2ax-a,\ \ \ x＜0, \\ e^{x}+\ln(x+1),\ \ \ x\geqslant0, \end{cases} $若函数$ y=f(x) $在$ \mathbf{R} $上是严格增函数，则实数$ a $的取值范围是__________.

答案： $ [-1,0] $
解析：$ x＜0 $时对称轴$ x=-a\geqslant0 \Rightarrow a\leqslant0 $；$ f(0^{-})\leqslant f(0^{+}) \Rightarrow -a\leqslant1 \Rightarrow a\geqslant-1 $，综上$ [-1,0] $.

6. 若$ \{y|y=\begin{cases} x+4,\ \ \ x＜a, \\ x^{2}-2x,\ \ \ x\geqslant a \end{cases},a\in\mathbf{R}\}=\mathbf{R} $，则实数$ a $的取值范围是__________.

答案： $ [-5,4] $
解析：$ x^{2}-2x\geqslant-1 $，$ x+4 $需覆盖$ (-\infty,-1) $，$ a+4\geqslant-1 \Rightarrow a\geqslant-5 $；$ x\geqslant a $时$ x^{2}-2x $最小值$ \leqslant a+4 \Rightarrow a\leqslant4 $，综上$ [-5,4] $.

7. 若$ x、y\in\mathbf{R} $，满足$ \begin{cases} x^{3}+3(x+2)+\sin x=7, \\ y^{3}+3(y+2)+\sin y=5, \end{cases} $则$ x+y= $__________.

答案： 0
解析：构造$ f(t)=t^{3}+3t+\sin t $，奇函数且单调递增，$ f(x)=1 $，$ f(y)=-1 $，则$ y=-x \Rightarrow x+y=0 $.

8. 设$ f(x)=\dfrac{a-x^{\frac{3}{2}}-8x^{\frac{1}{2}}}{x+8}(a\in\mathbf{R}) $，若函数$ y=4f(x)+5 $的零点为4，则使得$ 8f(t^{2}-16)+63\geqslant0 $成立的整数$ t $的个数为__________.

答案： 5
解析：$ 4f(4)+5=0 \Rightarrow a=9 $，$ f(x)=\dfrac{9-x\sqrt{x}-8\sqrt{x}}{x+8} $，$ 8f(t^{2}-16)\geqslant-63 \Rightarrow t^{2}-16\leqslant64 \Rightarrow t\in[-4\sqrt{5},4\sqrt{5}] $，整数$ t=4,5,6,7,8 $共5个.

二、选择题
9. 若$ f(x)=\dfrac{4x^{2}}{2x^{2}+1} $，则对任意实数$ x $，函数$ y=f(x) $的值域是（ ）
A. $ (0,2) $
B. $ (0,2] $
C. $ [0,2) $
D. $ [0,2] $

答案： C
解析：$ f(x)=2-\dfrac{2}{2x^{2}+1} $，$ 2x^{2}+1\geqslant1 \Rightarrow \dfrac{2}{2x^{2}+1}\in(0,2] \Rightarrow f(x)\in[0,2) $. 选C.

10. 已知$ a＞0,b\in\mathbf{R} $，若关于$ x $的不等式$ (ax-2)(x^{2}+bx-8)\geqslant0 $在$ (0,+\infty) $恒成立，则$ b+\dfrac{4}{a} $的最小值为（ ）
A. 4
B. $ 4\sqrt{2} $
C. 8
D. $ 8\sqrt{2} $

答案： B
解析：$ ax-2=0 \Rightarrow x=\dfrac{2}{a} $，$ x^{2}+bx-8=0 $正根为$ \dfrac{2}{a} $，代入得$ b=4a-\dfrac{2}{a} $，$ b+\dfrac{4}{a}=4a+\dfrac{2}{a}\geqslant2\sqrt{8}=4\sqrt{2} $. 选B.