《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

10. 如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α上运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（　　）
A. 圆　　　B. 椭圆　　　C. 一条直线　　　D. 两条平行直线
11. 已知椭圆C：x²/a² + y²/b² = 1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A₁、A₂，若以线段A₁A₂为直径的圆与直线bx - ay + 2ab = 0相交，则椭圆的离心率的取值范围为（　　）
A. (0, √6/3)　　　B. (√6/3, 1)　　　C. (√2/3, 1)　　　D. (0, √2/3)
三、解答题
12. 已知点A为椭圆Γ：x²/6 + y²/2 = 1上一点，F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点．
（1）求椭圆Γ的离心率；
（2）若点A的横坐标为2，求|AF₁|的长．

答案： 10. B
11. A
12. （1）√6/3
（2）(4√6)/3

12. 已知点 A 为椭圆$ \Gamma:\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1 $上一点，$ F_1,F_2 $分别为椭圆的左、右焦点.
（1）求椭圆$ \Gamma $的离心率；
（2）若点 A 的横坐标为 2，求$ |AF_1| $的长.

答案： （1）$ \frac{\sqrt{6}}{3} $；（2）$ \frac{5\sqrt{6}}{3} $
解析：
（1）椭圆$ \Gamma:\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1 $，则$ a^2 = 6 $，$ b^2 = 2 $，$ c^2 = a^2 - b^2 = 4 $，$ c = 2 $，离心率$ e = \frac{c}{a} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3} $。
（2）$ F_1(-2,0) $，点 A 横坐标为 2，代入椭圆方程得$ \frac{4}{6}+\frac{y^2}{2}=1 $，解得$ y^2 = \frac{2}{3} $，$ y = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} $。$ |AF_1| = \sqrt{(2 + 2)^2 + (\pm \frac{\sqrt{6}}{3})^2} = \sqrt{16 + \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{50}{3}} = \frac{5\sqrt{6}}{3} $。