《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

14. 设y=f(x),y=g(x),y=h(x)是定义域均为D的三个函数...
(1)若y=g(x)和y=sinx是关于y=cosx的“R对称函数”，求g(2026/3 π)；
(2)若y=g(x)是y=1关于y=cos²x的“[a,b]对称函数”，判断并证明：“b−a≥π/2”是“y=g(π/4−x)的值域为[−1,1]”的什么条件？
(3)已知y=√(1−x)是y=√(3x)关于y=f(x)的“[0,1]对称函数”，且对任意s∈[0,1]，存在t∈[0,1]，使得2f(s)=4t³−3t+a，求实数a的取值范围.

答案：
(1)由定义2cosx=g(x)+sinx，故g(x)=2cosx−sinx.g(2026π/3)=g(675π+π/3)=g(π+π/3)=2cos(4π/3)−sin(4π/3)=2(−1/2)−(−√3/2)=−1+√3/2.
(2)必要不充分条件.证明：g(x)=2cos²x−1=cos2x，y=g(π/4−x)=cos(π/2−2x)=sin2x.值域[−1,1]需2x∈[−π/2+2kπ,π/2+2kπ]，即x∈[−π/4+kπ,π/4+kπ]，区间长度π/2，故b−a≥π/2必要；但b−a≥π/2时未必覆盖整个周期，非充分.
(3)由定义2f(s)=√(1−s)+√(3s)，令h(s)=√(1−s)+√(3s)，s∈[0,1]，h(s)∈[1,2].又4t³−3t+a∈[a−1,a]，故[1,2]⊆[a−1,a]，即a−1≤1且a≥2，解得a=2.