《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

1. 双曲线$ 9x^2 - 16y^2 = 144 $焦点坐标为__________.

答案： $ (\pm 5,0) $
解析：标准方程$ \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1 $，$ c^2 = 16 + 9 = 25 $，$ c = 5 $，焦点$ (\pm 5,0) $。

2. 若双曲线$ C:mx^2 - y^2 = 1(m＞0) $的一条渐近线方程为$ mx + \sqrt{3}y = 0 $，则双曲线 C 的焦距为__________.

答案： $ \frac{4\sqrt{3}}{3} $
解析：渐近线$ y = \pm \sqrt{m}x $，由$ mx + \sqrt{3}y = 0 $得$ \sqrt{m} = \frac{m}{\sqrt{3}} $，$ m = 3 $，$ c^2 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} $，焦距$ 2c = \frac{4\sqrt{3}}{3} $。

3. 与双曲线$ \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1 $有相同焦点，且经过点$ (2,\frac{3\sqrt{3}}{2}) $的椭圆的标准方程为__________.

答案： $ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 $
解析：双曲线焦点$ c^2 = 7 $，设椭圆$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $，$ a^2 - b^2 = 7 $，代入点得$ \frac{4}{a^2}+\frac{27}{4b^2}=1 $，解得$ a^2 = 16 $，$ b^2 = 9 $。

4. 若双曲线$ C:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{m}=1 $的焦距长为 8，则该双曲线的渐近线方程为__________.

答案： $ y = \pm \frac{\sqrt{7}}{3}x $
解析：焦距$ 2c = 8 $，$ c = 4 $，$ c^2 = 9 + m = 16 $，$ m = 7 $，渐近线$ y = \pm \frac{\sqrt{7}}{3}x $。

5. 若双曲线$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a＞0,b＞0) $一条渐近线方程为$ 3x - y = 0 $，且过点$ (-\sqrt{2},3) $，则双曲线的标准方程是__________.

答案： $ x^2 - \frac{y^2}{9}=1 $
解析：渐近线$ y = 3x $，$ \frac{b}{a} = 3 $，$ b = 3a $，代入点得$ \frac{2}{a^2}-\frac{9}{9a^2}=1 $，$ a^2 = 1 $，$ b^2 = 9 $。

6. 双曲线$ C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a＞0,b＞0) $的离心率为$ e = \sqrt{3} $，过双曲线的右焦点作垂直于 x 轴的直线交双曲线 C 于 A、B 两点，若 A、B 两点到双曲线的同一条渐近线的距离之和为 8，则该双曲线的焦距为__________.

答案： $ 4\sqrt{6} $
解析：$ e = \sqrt{3} = \frac{c}{a} $，$ c = \sqrt{3}a $，$ b = \sqrt{2}a $，右焦点$ (c,0) $，代入双曲线得$ y = \pm 2a $，A、B 到渐近线$ \sqrt{2}x - y = 0 $距离之和$ \frac{|\sqrt{2}c - 2a| + |\sqrt{2}c + 2a|}{\sqrt{3}} = 8 $，解得$ a = 2\sqrt{2} $，$ c = 2\sqrt{6} $，焦距$ 4\sqrt{6} $。

7. 若点 Q 是双曲线$ C:\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1 $上一动点，过 Q 作圆$ D:(x - 6)^2 + y^2 = 1 $的两条切线，切点为 A、B，则$ |QA| $的最小值为__________.

答案： $ \frac{\sqrt{55}}{5} $
解析：$ |QA| = \sqrt{|QD|^2 - 1} $，$ |QD|_{min} = \frac{4}{\sqrt{5}} $，$ |QA|_{min} = \sqrt{\frac{16}{5} - 1} = \frac{\sqrt{55}}{5} $。

8. 若 A、B 是曲线$ x = \sqrt{y^2 + 2} $上不同的两点，O 为坐标原点，则$ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} $的取值范围是__________.

答案： $ [2,+\infty) $
解析：曲线为双曲线$ x^2 - y^2 = 2(x \geq \sqrt{2}) $，设$ A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) $，$ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = x_1x_2 + y_1y_2 \geq 2 $（当$ A,B $关于 x 轴对称时取等）。

9. 已知双曲线$ \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1 $与$ \frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1 $，下列说法正确的是（ ）
A. 两个双曲线有公共顶点
B. 两个双曲线有公共焦点
C. 两个双曲线有公共渐近线
D. 两个双曲线的离心率相等

答案： C
解析：渐近线均为$ y = \pm \frac{4}{3}x $，公共渐近线，故选 C。

10. 已知双曲线$ C_1:x^2 + \frac{y^2}{m}=1(m \neq 0) $与$ C_2:\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1 $共焦点，则$ C_1 $的渐近线方程为（ ）
A. $ x \pm y = 0 $
B. $ \sqrt{2}x \pm y = 0 $
C. $ x \pm \sqrt{3}y = 0 $
D. $ \sqrt{3}x \pm y = 0 $

答案： D
解析：$ C_2 $焦点$ c^2 = 4 $，$ C_1 $为双曲线时$ m ＜ 0 $，$ 1 - (-m) = 4 $，$ m = -3 $，渐近线$ y = \pm \sqrt{3}x $，即$ \sqrt{3}x \pm y = 0 $，故选 D。