《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

11. 已知$a=\log_x y$，$b=\log_y x$，$c=x^y$，$d=y^x$，其中$x$、$y$为正数且$x\neq1$，$y\neq1$，则下列命题中，正确命题的个数为（ ）
① 对任意的$x$和$y$，都有$c\neq d$；
② 存在$x$和$y$，使得$a = b$；
③ $a$、$b$、$c$、$d$中大于$1$的数有奇数个；
④ 存在$x$和$y$，使得$a ＜ b ＜ c ＜ d$.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

答案： C
解析：①错误（如$x=y=2$，$c=d=4$）；②正确（如$x=y$，$a=b=1$）；③正确（大于1的数为1或3个）；④正确（如$x=16$，$y=4$），共3个正确，选C。

三、解答题
12.（1）计算：$\dfrac{6}{5}a^{\frac{1}{3}}b^{-2}\cdot(-3a^{\frac{1}{2}}b^{-1})÷(4a^{\frac{2}{3}}b^{-3})^{\frac{1}{2}}$；

答案： $-\dfrac{9}{5}a^{\frac{1}{2}}b^{-\frac{3}{2}}$
解析：系数：$\dfrac{6}{5}×(-3)÷2=-\dfrac{9}{5}$，
指数：$a^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=a^{\frac{1}{2}}$，$b^{-2-1+\frac{3}{2}}=b^{-\frac{3}{2}}$，
结果$-\dfrac{9}{5}a^{\frac{1}{2}}b^{-\frac{3}{2}}$。

（2）计算：$2\log_3 2-\log_3\dfrac{32}{9}+\log_3 8-\log_2 9\cdot\log_3 2$；

答案： 0
解析：原式$=2\log_3 2-(\log_3 32-\log_3 9)+\log_3 8-2\log_2 3\cdot\log_3 2$
$=2\log_3 2-\log_3 32 + 2+\log_3 8 - 2=0$。

（3）已知$5^a=3$，$5^b=4$，用$a$、$b$表示$\log_{25}36$.

答案： $\dfrac{2a + b}{2}$
解析：$\log_{25}36=\log_{5^2}(6^2)=\log_5 6=\log_5(2×3)=\log_5 2 + a$，
$5^b=4\Rightarrow\log_5 2=\dfrac{b}{2}$，故$\log_{25}36=a + \dfrac{b}{2}=\dfrac{2a + b}{2}$。