《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

14. 已知$x＞0$，$y＞0$，$\dfrac{8}{x}+\dfrac{2}{y}=1$.
（1）求$xy$的最小值；

答案： 64
解析：由$1=\dfrac{8}{x}+\dfrac{2}{y}\geq2\sqrt{\dfrac{16}{xy}}$，得$\sqrt{xy}\geq8$，$xy\geq64$，
当且仅当$\dfrac{8}{x}=\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{2}$，即$x=16$，$y=4$时取等号，最小值$64$。

（2）求$x + y$的最小值；

答案： 18
解析：$x + y=(x + y)\left(\dfrac{8}{x}+\dfrac{2}{y}\right)=10+\dfrac{2x}{y}+\dfrac{8y}{x}\geq10 + 2\sqrt{16}=18$，
当且仅当$\dfrac{2x}{y}=\dfrac{8y}{x}$，即$x=12$，$y=6$时取等号，最小值$18$。

（3）求$\dfrac{4}{x-8}+\dfrac{1}{y-2}$的最小值.

答案： 1
解析：令$a=x - 8$，$b=y - 2$，则$x=a + 8$，$y=b + 2$，代入条件得$\dfrac{8}{a + 8}+\dfrac{2}{b + 2}=1$。
目标式$\dfrac{4}{a}+\dfrac{1}{b}$，由$\dfrac{8}{a + 8}+\dfrac{2}{b + 2}=1$得$\dfrac{4}{a}+\dfrac{1}{b}\geq1$（过程略），
当$a=8$，$b=2$时取等号，最小值$1$。