《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

13. 一块边长为$12$cm的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．
（1）请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积$V$表示为关于$x$的函数，并标明其定义域；
（2）若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”．请指出此时$x$的值（不用说明理由），并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积$S$．

答案： （1）设高为$x$，底面边长$a=12-2x\cot30°=12-2\sqrt{3}x$，$V=\frac{\sqrt{3}}{4}(12-2\sqrt{3}x)^2·x$，定义域$0＜x＜2\sqrt{3}$。
（2）$x=\sqrt{3}$，侧面积$S=3×(12-2\sqrt{3}×\sqrt{3})×\sqrt{3}=18\sqrt{3}$cm²。

14. 如图，梯形$ABCD$中，$AB//CD$，$AB⊥AD$且$AB=AD=1$，$CD=2$，绕梯形的某一边为轴旋转一周，请说明所得到的几何体的构成，并计算该几何体的体积．

答案： 绕$AB$：圆柱（$r=1,h=1$）与圆锥（$r=1,h=1$）组合，体积$\pi×1^2×1+\frac{1}{3}\pi×1^2×1=\frac{4\pi}{3}$；
绕$AD$：圆柱（$r=1,h=1$）与圆锥（$r=1,h=1$）组合，体积$\pi×1^2×1+\frac{1}{3}\pi×1^2×1=\frac{4\pi}{3}$；
绕$CD$：圆柱（$r=1,h=2$）挖去圆锥（$r=1,h=1$），体积$\pi×1^2×2-\frac{1}{3}\pi×1^2×1=\frac{5\pi}{3}$；
绕$BC$：圆台（$r=1,R=2,h=\sqrt{2}$）挖去圆锥（$r=1,h=\sqrt{2}$），体积$\frac{1}{3}\pi\sqrt{2}(1+2+4)-\frac{1}{3}\pi×1^2×\sqrt{2}=\frac{5\sqrt{2}\pi}{3}$。（根据题目要求选其一，通常绕$CD$体积为$\frac{5\pi}{3}$）