《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

四、拓展与提高
14. 定义：对于函数$ y=f(x),y=g(x) $，若任意$ a、b、c\in(0,+\infty) $，都有$ f(a)+f(b)＞g(c) $，则称$ y=g(x) $是$ y=f(x) $的一个具有三角形性质的关联函数；若都有$ f(a)+f(b)＞f(c) $，则称$ y=f(x) $是自身具有三角形性质的函数.
（1）判断函数$ g(x)=\log_{\frac{1}{2}}\left( x+\dfrac{1}{2} \right) $是不是函数$ f(x)=2^{x} $的一个具有三角形性质的关联函数，简要说明理由；
（2）若二次函数$ y=mx^{2}-x+1 $是$ y=x+\dfrac{1}{x} $的一个具有三角形性质的关联函数，求实数$ m $的取值范围；
（3）已知函数$ y=\dfrac{2^{x}+t}{2^{x}+2},x\in(0,+\infty) $是自身具有三角形性质的函数，求实数$ t $的取值范围.

答案： （1）是；（2）$ m\geqslant\dfrac{1}{4} $；（3）$ t\geqslant-2 $
解析：（1）$ f(a)+f(b)=2^{a}+2^{b}\geqslant2\sqrt{2^{a+b}}＞2 $（$ a,b＞0 $），$ g(c)=\log_{\frac{1}{2}}\left( c+\dfrac{1}{2} \right)＜\log_{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{2}=1＜2 $，故是关联函数.
（2）$ x+\dfrac{1}{x}\geqslant2 $，$ mx^{2}-x+1＜2 $恒成立，即$ mx^{2}-x-1＜0 $，$ m=0 $时$ -x-1＜0 $成立；$ m＞0 $时$ \Delta=1+4m\leqslant0 \Rightarrow m\geqslant-\dfrac{1}{4} $，综上$ m\geqslant\dfrac{1}{4} $.
（3）设$ f(x)=\dfrac{2^{x}+t}{2^{x}+2}=1+\dfrac{t-2}{2^{x}+2} $，$ f(a)+f(b)＞f(c) $恒成立，$ t-2\geqslant0 $时$ f(x)\in\left( \dfrac{t}{2},1 \right) $，$ 2×\dfrac{t}{2}\geqslant1 \Rightarrow t\geqslant1 $；$ t-2＜0 $时$ f(x)\in\left( 1,\dfrac{t}{2} \right) $，$ 2×1\geqslant\dfrac{t}{2} \Rightarrow t\geqslant-2 $. 综上$ t\geqslant-2 $.