《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

二、选择题
9. 已知函数$y = f(x)$及其导函数$y = f'(x)$，若存在$x_0$使得$f(x_0) = f'(x_0)$，则称$x_0$是$y = f(x)$的一个“巧值点”，给出下列四个函数：①$f(x) = 3$；②$f(x) = x^2$；③$f(x) = \ln x$；④$f(x) = \sin x$。其中没有“巧值点”的函数是(\quad)
A. $f(x) = 3$ B. $f(x) = x^2$ C. $f(x) = \ln x$ D. $f(x) = \sin x$

答案： A
解析：①$f'(x) = 0$，$3 = 0$无解；②$x^2 = 2x$有解；③$\ln x = \frac{1}{x}$有解；④$\sin x = \cos x$有解。

10. 下列求导计算正确的是(\quad)
A. $(xe^x)' = e^x$ B. $(\frac{\ln x}{x})' = \frac{1 - \ln x}{x^2}$ C. $[(2x + 1)^{-1}]' = -(2x + 1)^{-2}$ D. $(x + \cos x)' = 1 + \sin x$

答案： B
解析：A. $(xe^x)' = e^x + xe^x$；B. 正确；C. $[(2x + 1)^{-1}]' = -2(2x + 1)^{-2}$；D. $(x + \cos x)' = 1 - \sin x$。

11. 若$y = f(x)$的导函数$y = f'(x)$是连续函数，则下列说法中，不正确的是(\quad)
A. 如果$y = f'(x)$是奇函数，则$y = f(x)$必是偶函数
B. 如果$y = f(x)$是偶函数，则$y = f'(x)$必是奇函数
C. 如果$y = f(x)$是周期函数，则$y = f'(x)$必是周期函数
D. 如果$y = f'(x)$是周期函数，则$y = f(x)$必是周期函数

答案： D
解析：D. 例如$f(x) = x + \sin x$，$f'(x) = 1 + \cos x$周期，但$f(x)$非周期。

三、解答题
12. 蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似满足函数关系式：$T(t) = \frac{120}{t + 5} + 15$，其中$T(t)$为蜥蜴的体温（单位：$^{\circ}C$），$t$为太阳落山后的时间（单位：$\min$）。
(1) 求$T'(10)$，并解释其实际意义；
(2) 蜥蜴体温的瞬时变化率为$-1^{\circ}C/\min$时的时刻$t$是多少（精确到$0.01$）？

答案：
(1)$-\frac{8}{15}$，意义：太阳落山后10分钟，蜥蜴体温以$\frac{8}{15}^{\circ}C/\min$的速率下降；
(2)$5.49$
解析：
(1)$T'(t) = -\frac{120}{(t + 5)^2}$，$T'(10) = -\frac{120}{225} = -\frac{8}{15}$。
(2) 令$-\frac{120}{(t + 5)^2} = -1$，$(t + 5)^2 = 120$，$t = \sqrt{120} - 5 \approx 5.49$。