《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

1. 复数$z=a+2i$，$a\in\mathbf{R}$，若$\frac{z}{i}+1-3i$为实数，则$a=$_________.

答案： $-3$
解析：$\frac{z}{i}=\frac{a+2i}{i}=(a+2i)(-i)=2-ai$，则$\frac{z}{i}+1-3i=3-(a+3)i$为实数，虚部$a+3=0$，$a=-3$。

2. 若复数$z=(x^2-100)+(x-10)i$为纯虚数，则实数x的值为_________.

答案： $-10$
解析：纯虚数实部$x^2-100=0$且虚部$x-10\neq0$，解得$x=-10$。

3. 在复平面内，O是原点。向量$\overrightarrow{OA}$对应的复数为$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$，其中i为虚数单位，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量$\overrightarrow{OB}$对应的复数的共轭复数为_________.

答案： $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
解析：A点坐标$(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$，对称点B$(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$，对应复数$-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$，共轭复数为$-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$。

4. 若$1-2i$是关于x的实系数一元二次方程$x^2+px+q=0$的一个根，则$p+q=$_________.

答案： $3$
解析：另一根为$1+2i$，$p=-(1-2i+1+2i)=-2$，$q=(1-2i)(1+2i)=5$，$p+q=3$。

5. 若复数z满足：$z^2-2az+a^2+4=0$，且$|z|=\sqrt{5}$，则实数$a=$_________.

答案： $\pm1$
解析：方程化为$(z-a)^2=-4$，$z=a\pm2i$，$|z|=\sqrt{a^2+4}=\sqrt{5}$，$a^2=1$，$a=\pm1$。