《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

12. 已知函数y=f(x),其中f(x)=√6 sin(ωx/2)·cos(ωx/2)+√2 cos²(ωx/2)−√2/2(ω＞0),其图像中两条相邻的对称轴之间的距离为π/2.
(1)求函数y=f(x)的表达式,并求出它的单调减区间；
(2)将函数y=f(x)的图像向左平移π/24个单位长度,再将所得图像上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图像.当x∈[0,15π/4]时,求方程g(x)+1=sin2x的所有根之和.

答案：
(1)f(x)=√6/2 sinωx + √2/2 (1+cosωx)−√2/2=√6/2 sinωx + √2/2 cosωx=√2 sin(ωx+π/6).相邻对称轴距离π/2，周期T=π，ω=2，故f(x)=√2 sin(2x+π/6).单调减区间：π/2+2kπ≤2x+π/6≤3π/2+2kπ，即[kπ+π/6,kπ+2π/3]，k∈Z.
(2)平移后得y=√2 sin[2(x+π/24)+π/6]=√2 sin(2x+π/4)，横坐标变为2倍得g(x)=√2 sin(x+π/4).方程√2 sin(x+π/4)+1=sin2x，在x∈[0,15π/4]，令t=x+π/4，转化为√2 sint +1=sin(2t−π/2)=−cos2t=2sin²t−1，即2sin²t−√2 sint−2=0，解得sint=√2或−√2/2，sint=−√2/2时t=5π/4+2kπ或7π/4+2kπ，对应x=π+kπ或3π/2+kπ，求和得(π+2π+3π)+(3π/2+5π/2+7π/2+9π/2)=6π+12π=18π.