《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

1. 向量$\overrightarrow{a}=(4,3)$的单位向量的坐标是_________.

答案： $(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$
解析：向量$\overrightarrow{a}=(4,3)$的模$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{4^2+3^2}=5$，单位向量为$\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}=(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$。

2. 等腰直角三角形ABC中，若$AB=AC=5$，则$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=$_________.

答案： $-25$
解析：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立坐标系，$A(0,0)$，$B(5,0)$，$C(0,5)$，则$\overrightarrow{AB}=(5,0)$，$\overrightarrow{BC}=(-5,5)$。$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=5×(-5)+0×5=-25$。

3. 已知点$A(4,1)$、$B(-2,7)$，点P是直线AB上一点，若$|\overrightarrow{AP}|=2|\overrightarrow{PB}|$，则点P的坐标是_________.

答案： $(0,5)$或$(-8,13)$
解析：当P在线段AB上时，$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，设$P(x,y)$，则$(x-4,y-1)=2(-2-x,7-y)$，解得$x=0,y=5$；当P在AB延长线上时，$\overrightarrow{AP}=-2\overrightarrow{PB}$，则$(x-4,y-1)=-2(-2-x,7-y)$，解得$x=-8,y=13$。

4. 若$\overrightarrow{a}=(3,-1)$，$\overrightarrow{b}=(1,t)$，且$(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\perp\overrightarrow{a}$，则$t=$_________.

答案： $23$
解析：$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(7,t-2)$，由垂直得$(7,t-2)\cdot(3,-1)=21-(t-2)=0$，解得$t=23$。

5. 已知正方形ABCD的边长为1，若点E是AB边上的动点，则$\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{DC}$的最大值为_________.

答案： $1$
解析：以D为原点，DC为x轴，DA为y轴，设$E(x,1)(0\leq x\leq1)$，$\overrightarrow{DE}=(x,1)$，$\overrightarrow{DC}=(1,0)$，$\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{DC}=x$，最大值为$1$（当$x=1$时）。

6. 若$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=12$，且$|\overrightarrow{b}|=5$，则向量$\overrightarrow{a}$在向量$\overrightarrow{b}$方向上的投影为_________.

答案： $\frac{12}{5}$
解析：投影公式为$\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}=\frac{12}{5}$。

7. 若$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(1,1)$，且$\lambda\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}$夹角为钝角，则λ的取值范围为_________.

答案： $(-\frac{7+\sqrt{13}}{6},-1)\cup(-1,-\frac{7-\sqrt{13}}{6})$
解析：$\lambda\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(\lambda+1,2\lambda+1)$，$\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}=(\lambda+1,\lambda+2)$。夹角为钝角则数量积小于0且不共线。数量积$(\lambda+1)^2+(2\lambda+1)(\lambda+2)=3\lambda^2+7\lambda+3＜0$，解得$\lambda\in(-\frac{7+\sqrt{13}}{6},-\frac{7-\sqrt{13}}{6})$。共线时$(\lambda+1)(\lambda+2)-(\lambda+1)(2\lambda+1)=0$，得$\lambda=-1$（此时夹角为平角），故排除$\lambda=-1$，范围为$(-\frac{7+\sqrt{13}}{6},-1)\cup(-1,-\frac{7-\sqrt{13}}{6})$。

8. 已知平面向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$，且$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=2$，$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2$，若向量$\overrightarrow{c}$满足$|\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$，则当$|\overrightarrow{c}-\lambda\overrightarrow{b}|$（λ∈R）取最小值时，λ=_________.

答案： $3$
解析：$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=4+4-4=4$，则$|\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|=2$，$\overrightarrow{c}$轨迹是以$2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$为圆心，半径2的圆。设$\overrightarrow{a}=(2,0)$，$\overrightarrow{b}=(1,\sqrt{3})$，则$2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=(6,2\sqrt{3})$。$|\overrightarrow{c}-\lambda\overrightarrow{b}|$最小值为圆心到直线$\lambda\overrightarrow{b}$的距离减去半径，圆心在直线上投影为$(3,3\sqrt{3})=3\overrightarrow{b}$，故$\lambda=3$。

9. 已知向量$\overrightarrow{a}=(\cos\alpha,\sin\alpha)$，$\overrightarrow{b}=(2,3)$，若$\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}$，则$\sin^2\alpha-\sin2\alpha$的值等于（ ）
A. $-\frac{5}{13}$ B. $-\frac{3}{13}$ C. $\frac{3}{13}$ D. $\frac{5}{13}$

答案： B
解析：$\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}$则$3\cos\alpha=2\sin\alpha$，$\tan\alpha=\frac{3}{2}$。$\sin^2\alpha-\sin2\alpha=\frac{\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=\frac{\tan^2\alpha-2\tan\alpha}{\tan^2\alpha+1}=\frac{(\frac{9}{4})-3}{\frac{9}{4}+1}=-\frac{3}{13}$。