《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

13. 已知椭圆$ C:\frac{x^2}{a^2}+y^2=1(a＞0) $的焦距为$ 4\sqrt{2} $，点$ A(2,0) $.
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）设 P 是椭圆 C 上任一点，求$ |PA| $的最大值与最小值.

答案： （1）$ \frac{x^2}{9}+y^2=1 $；（2）最大值 5，最小值$ \frac{\sqrt{2}}{2} $
解析：
（1）焦距$ 2c = 4\sqrt{2} $，$ c = 2\sqrt{2} $，$ c^2 = a^2 - b^2 $，$ b^2 = 1 $，则$ 8 = a^2 - 1 $，$ a^2 = 9 $，标准方程$ \frac{x^2}{9}+y^2=1 $。
（2）设$ P(x,y) $，$ y^2 = 1 - \frac{x^2}{9} $，$ |PA|^2 = (x - 2)^2 + y^2 = (x - 2)^2 + 1 - \frac{x^2}{9} = \frac{8x^2}{9} - 4x + 5 $，对称轴$ x = \frac{9}{4} $，$ x \in [-3,3] $。最小值$ |PA|^2 = \frac{1}{2} $，$ |PA|_{min} = \frac{\sqrt{2}}{2} $；最大值在$ x = -3 $处，$ |PA|^2 = 25 $，$ |PA|_{max} = 5 $。

14. 已知椭圆$ C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a＞b＞0) $的长轴长为 4，$ F_1,F_2 $为椭圆 C 的左、右焦点，点$ P(x_0,y_0)(y_0 \neq 0) $在椭圆 C 上运动，且$ \cos\angle F_1PF_2 $的最小值为$ \frac{1}{2} $. 连接$ PF_1,PF_2 $并延长分别交椭圆 C 于 M、N 两点.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）证明：$ \frac{S_{\triangle OPF_1}}{S_{\triangle OMF_1}}+\frac{S_{\triangle OPF_2}}{S_{\triangle ONF_2}} $为定值.

答案： （1）$ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1 $；（2）见解析
解析：
（1）长轴长$ 2a = 4 $，$ a = 2 $，设$ |PF_1| = m $，$ |PF_2| = n $，$ m + n = 4 $，$ \cos\angle F_1PF_2 = \frac{m^2 + n^2 - 4c^2}{2mn} = \frac{16 - 2mn - 4c^2}{2mn} = \frac{8 - 2c^2}{mn} - 1 $。$ mn \leq 4 $（当$ m = n $时取等），最小值$ \frac{8 - 2c^2}{4} - 1 = \frac{1}{2} $，解得$ c = 1 $，$ b^2 = 3 $，方程$ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1 $。
（2）设$ PF_1 $交椭圆于 M，由焦点弦性质，$ \frac{S_{\triangle OPF_1}}{S_{\triangle OMF_1}} = \frac{|PF_1|}{|MF_1|} $，同理$ \frac{S_{\triangle OPF_2}}{S_{\triangle ONF_2}} = \frac{|PF_2|}{|NF_2|} $。利用椭圆极坐标方程或韦达定理可证得和为$ \frac{10}{3} $，为定值。