《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

13. 碳-14是碳的一种具有放射性的同位素，生物生存时体内的碳-14含量大致不变，生物死亡后，停止新陈代谢，碳-14含量逐渐减少，约经过$5730$年（半衰期），残存含量为原始含量的一半.考古人员可以透过古生物标本体内的碳-14含量来推测其死亡年份，以此推断与其共存的遗迹距今时间，这就是碳-14测年法.一般地，经过$x$年后，碳-14的残存含量和原始含量之比为$y$，满足函数关系：$y=e^{-\lambda x}$，其中常数$e$为自然对数的底，$\lambda$称为碳-14衰变常数.
（1）求$\lambda$的值；

答案： $\lambda=\dfrac{\ln 2}{5730}$
解析：由半衰期$x=5730$时$y=\dfrac{1}{2}$，得$\dfrac{1}{2}=e^{-5730\lambda}$，$\lambda=\dfrac{\ln 2}{5730}$。

（2）通过专业测量，巫山大宁河小三峡悬棺中某物的碳-14含量约占原始含量的$78.13\%$，请推测悬棺距今已存在了多少年？（精确到个位数）

答案： 2034年
解析：$0.7813=e^{-\lambda x}$，$x=-\dfrac{\ln 0.7813}{\lambda}=5730×\dfrac{\ln\dfrac{1}{0.7813}}{\ln 2}\approx2034$年。

四、拓展与提高
14. 已知实数$a$满足$a+(2^{2-\sqrt{2}})^{2+\sqrt{2}}\geq(\sqrt{2}+1)^0×3^{1-\log_3 2}×\left(\dfrac{9}{16}\right)^{-\frac{3}{2}}$.
（1）求实数$a$的取值范围；

答案： $[-\dfrac{4}{9},+\infty)$
解析：左边$=a + 2^{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}=a + 4$，
右边$=1×\dfrac{3}{2}×\left(\dfrac{16}{9}\right)^{\frac{3}{2}}=\dfrac{32}{9}$，
$a + 4\geq\dfrac{32}{9}\Rightarrow a\geq-\dfrac{4}{9}$。

（2）解关于$x$的不等式$x^2 + x ＜ ax + a$.

答案： $(-1,a)$
解析：不等式$x^2 + (1 - a)x - a＜0$，即$(x + 1)(x - a)＜0$，
因为$a\geq-\dfrac{4}{9}＞-1$，解集$(-1,a)$。