《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

13. 某地政府为地方电子工业的发展，决定对某一进口电子产品征收附加税。已知这种电子产品国内市场零售价为每件$250$元，每年可销售$40$万件，若政府征收附加税率为$t\%$时，则每年减少$\frac{8}{5}t$万件。
（1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；
（2）若在该项经营中每年征收附加税金不低于$600$万元，那么附加税率应控制在什么范围？

答案： （1）$y = -4t^2 + 100t(0 ＜ t ＜ 25)$；（2）$[10, 15]$
（1）销售量为$40 - \frac{8}{5}t$万件，每件税金$250 × t\% = 2.5t$元，税金收入$y = (40 - \frac{8}{5}t) × 2.5t = -4t^2 + 100t$，$0 ＜ t ＜ 25$。
（2）$-4t^2 + 100t \geq 600$，即$t^2 - 25t + 150 \leq 0$，解得$10 \leq t \leq 15$。

14. 已知关于$x$的不等式$kx^2 - (k^2 + 4k + 6)x + 4k^2 + 24 ＞ 0$，其中$k \in \mathbf{R}$。
（1）当$k = -2$时，求不等式的解集$A$；
（2）若$k ＞ 0$，试求不等式的解集$B$；
（3）若原不等式的解集$C$中所含整数最少，求$C$中的最小整数，以及实数$k$的取值范围。

答案： （1）$(-5, 4)$；（2）$(-\infty, 4) \cup \left(k + \frac{6}{k}, +\infty\right)$；（3）最小整数$-4$；$k ＜ 0$
（1）$k = -2$时，不等式为$-2x^2 - 2x + 40 ＞ 0$，即$x^2 + x - 20 ＜ 0$，解集$(-5, 4)$。
（2）$k ＞ 0$时，方程$kx^2 - (k^2 + 4k + 6)x + 4k^2 + 24 = 0$根为$x = 4$和$x = k + \frac{6}{k}$（$k + \frac{6}{k} ＞ 4$），解集$(-\infty, 4) \cup \left(k + \frac{6}{k}, +\infty\right)$。
（3）$k ＜ 0$时，解集$\left(k + \frac{6}{k}, 4\right)$，$k + \frac{6}{k} \leq -2\sqrt{6} \approx -4.899$，含整数最少，最小整数为$-4$，$k$取值范围$k ＜ 0$。