《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

13. 已知复数$z_1 = (a + i)^2$，$z_2 = 4 - 3i$，其中a是实数．
（1）若在复平面内表示复数$z_1$的点位于第二象限，求a的取值范围；
（2）若$a = 2$，求$\frac{z_1}{z_2} + \left(\frac{z_1}{z_2}\right)^2 + \left(\frac{z_1}{z_2}\right)^3 + \cdots + \left(\frac{z_1}{z_2}\right)^{2026}$．

答案： （1）$0 ＜ a ＜ 1$；（2）$-1 + i$
解析：
（1）$z_1 = (a^2 - 1) + 2ai$，对应点$(a^2 - 1, 2a)$在第二象限，则$\begin{cases}a^2 - 1 ＜ 0 \\ 2a ＞ 0\end{cases}$，解得$0 ＜ a ＜ 1$。
（2）$a = 2$时，$z_1 = 3 + 4i$，$\frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + 4i}{4 - 3i} = i$。原式为等比数列求和：$S = \frac{i(1 - i^{2026})}{1 - i} = \frac{i(1 + 1)}{1 - i} = -1 + i$。

14. 已知集合$C = \{z | z = a + bi\}$（其中i是虚数单位），$a、b \in \mathbb{R}$，定义：$f(z) = |a - b|$，$g(z) = |a| + |b|$．
（1）计算$f(1) + g(i)$的值；
（2）记$z_0 = 1 + i$，若$z_1、z_2 \in C$，且满足$g(z_1 - z_0) = g(z_2 - z_0) = 2$，求$g(z_1 - z_2)$的最大值，并写出一组符合题意的$z_1、z_2$；
（3）若$z \in C$，且满足$Rez = \ln(4x)$，$Imz = -\sin(\pi x)$，记$\varphi(x) = f(z)$，求证：当$x ＞ 0$时，函数$y = \varphi(x)$必存在唯一的零点$x_0$．

答案： （1）2；（2）4，$z_1 = 3 + i$，$z_2 = -1 + i$（答案不唯一）；（3）见解析
解析：
（1）$f(1) = |1 - 0| = 1$，$g(i) = |0| + |1| = 1$，则$f(1) + g(i) = 2$。
（2）设$z_1 - z_0 = a + bi$，$|a| + |b| = 2$，同理$z_2 - z_0 = c + di$，$|c| + |d| = 2$。$g(z_1 - z_2) = |a - c| + |b - d| \leq 4$，当$z_1 = 3 + i$，$z_2 = -1 + i$时取等。
（3）$\varphi(x) = |\ln(4x) + \sin\pi x|$，令$h(x) = \ln(4x) + \sin\pi x$，$h\left(\frac{1}{8}\right) ＜ 0$，$h\left(\frac{1}{4}\right) ＞ 0$，且$h(x)$单调递增，故存在唯一零点。