《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

9. 已知$|\vec{a}|=4$，空间向量$\vec{e}$为单位向量，若$\langle\vec{a},\vec{e}\rangle=\dfrac{2\pi}{3}$，则空间向量$\vec{a}$在向量$\vec{e}$方向上的数量投影为（ ）
A. $2$
B. $-2$
C. $-\dfrac{1}{2}$
D. $\dfrac{1}{2}$

答案： B
解析：数量投影为$|\vec{a}|\cos\langle\vec{a},\vec{e}\rangle=4×\cos\dfrac{2\pi}{3}=4×\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-2$。

10. 若空间任意一点$O$和不共线的三点$A$、$B$、$C$有关系式$6\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}$，则（ ）
A. $O$、$A$、$B$、$C$四点共面
B. $P$、$A$、$B$、$C$四点共面
C. $O$、$P$、$B$、$C$四点共面
D. $O$、$P$、$A$、$B$四点共面

答案： B
解析：$\overrightarrow{OP}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OC}$，系数和$\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=1$，故$P$、$A$、$B$、$C$共面。

11. 已知$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$是空间的三个向量，有下列命题：
① 若$\vec{a}//\vec{b}$，$\vec{b}//\vec{c}$，则$\vec{a}//\vec{c}$；
② 若$\vec{a}$与$\vec{b}$所在的直线是异面直线，则$\vec{a}$与$\vec{b}$一定不共面；
③ 若$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$两两共面，则$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$一定也共面；
④ 若$\vec{a}$与$\vec{b}$是平面$\alpha$上互不平行的向量，点$A\notin\alpha$，点$B\notin\alpha$，则$\overrightarrow{AB}$与$\vec{a}$、$\vec{b}$一定不共面；
⑤ 对于空间的任意一个向量$\vec{p}$，总存在实数$x$、$y$、$z$，使得$\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}$；
⑥ 若$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$是空间的一组基底，则$\vec{a}+\vec{b}$、$\vec{b}+\vec{c}$、$\vec{c}+\vec{a}$也是空间的一组基底.
其中正确命题的个数为（ ）
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$

答案： A
解析：① 当$\vec{b}=\vec{0}$时不成立；② 空间任意两向量共面；③ 三棱锥顶点向量可两两共面但不共面；④ $\overrightarrow{AB}$可与$\vec{a},\vec{b}$共面；⑤ 需$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$不共面；⑥ 正确（反证法可证不共面）。仅⑥正确，个数为$1$。

12. 如图，在三棱锥$A-BCD$中，已知$M$、$N$分别为棱$BC$、$AD$的中点.
（1）设$\overrightarrow{CA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{CB}=\vec{b}$，$\overrightarrow{CD}=\vec{c}$，试用向量$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$表示$\overrightarrow{MA}$和$\overrightarrow{CN}$；
（2）若三棱锥$A-BCD$各条棱长均为$2$，求直线$AM$和$CN$夹角的余弦值.

答案： （1）$\overrightarrow{MA}=\vec{a}-\dfrac{1}{2}\vec{b}$，$\overrightarrow{CN}=\dfrac{1}{2}\vec{a}+\dfrac{1}{2}\vec{c}$；（2）$\dfrac{2}{3}$
解析：（1）$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CM}=\vec{a}-\dfrac{1}{2}\vec{b}$；$\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN}=\vec{a}+\dfrac{1}{2}(\vec{c}-\vec{a})=\dfrac{1}{2}\vec{a}+\dfrac{1}{2}\vec{c}$。
（2）$|\overrightarrow{MA}|=|\overrightarrow{CN}|=\sqrt{3}$，$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{CN}=2$，故$\cos\theta=\dfrac{2}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{2}{3}$。