《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

13. 树形图是一种有层次地枚举各种可能情况的可视化方法．树形图有助于我们直观地探求某些样本空间．例如，考察有两个孩子的家庭，记“从中任意抽取一个家庭，两个孩子是一男一女”为事件 $A$．我们画出如图所示的树形图，用两个顺序的文字表示结果，例如“男女”表示该家庭的第一个孩子是男孩，第二个孩子是女孩，可知样本空间 $\Omega = \{男男,男女,女男,女女\}$，事件 $A = \{男女,女男\}$．
试用树形图分析下面问题：一只不透明的口袋内装有质地和大小完全相同的 3 个球，且分别标有 1、2、3 三个号码，从袋中不放回地依次抽取两个球，观察两个球的号码．记“第一个球的号码是 1”为事件 $A$，“第二个球的号码是 2”为事件 $B$，“第一个球的号码是 1 且第二个球的号码是 2”为事件 $C$，“第一个球的号码是 1 或者第二个球的号码是 2”为事件 $D$，“第一个球的号码不是 1”为事件 $E$．
（1）分别写出样本空间 $\Omega$ 和事件 $A、B、C、D、E$ 所对应的子集；
（2）分析事件 $A、B、C、D、E$ 所对应的集合之间的关系．

答案： （1）$\Omega = \{(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)\}$；$A = \{(1,2),(1,3)\}$；$B = \{(1,2),(3,2)\}$；$C = \{(1,2)\}$；$D = \{(1,2),(1,3),(3,2)\}$；$E = \{(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)\}$
（2）$C = A\cap B$，$D = A\cup B$，$E = \overline{A}$
解析：
（1）不放回抽取，所有可能结果为 $(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)$，即 $\Omega$。事件 $A$ 含第一个球为 1 的结果，$B$ 含第二个球为 2 的结果，$C$ 为 $A、B$ 交事件，$D$ 为 $A、B$ 并事件，$E$ 为 $A$ 的对立事件。
（2）由子集关系可得 $C = A\cap B$，$D = A\cup B$，$E = \Omega \setminus A = \overline{A}$。