《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

14. 2024年法国奥运会落下帷幕后，某平台为了解观众对该届奥运会的满意度，随机调查了某市1000名观众，得到他们对该届奥运会的满意度评分（满分100分），平台将评分分为[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]共5层，绘制成频率分布直方图（如图1所示）.并在这些评分中以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分，绘制成茎叶图，但由于某种原因茎叶图下半部分受到了污损，可见部分信息如图2所示.
（1）求图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数；
（2）若从图2的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率；
（3）已知这1000名观众的评分位于[50,80)上的均值为67，方差为64.7，位于[50,100]上的均值为73，方差为134.6，求这1000名观众的评分位于[80,100]上的均值与方差.

答案： （1）20名观众，第35百分位数位置为$20×0.35=7$，即第7和第8个数的平均数。将茎叶图中数据排序：51,54,61,62,63,63,65,71,73,74,74,74,75,78,...（后6个数为[80,100]），第7个数65，第8个数71，故第35百分位数为$\frac{65+71}{2}=68$。
（2）设[90,100]的人数为$n$，[80,90)的人数为$m$，由分层抽样知$m+n=6$（20-2-5-7=6）。设$n=1$（污损部分合理假设），则评分≥90的有1人，至少1名的概率为$1-\frac{C_{19}^{3}}{C_{20}^{3}}=\frac{3}{20}$。
（3）设[50,80)有$n_{1}$人，[80,100]有$n_{2}$人，$n_{1}+n_{2}=1000$。$67n_{1}+\mu_{2}n_{2}=73×1000$，$n_{1}=1000×(0.01+0.025+0.035)×10=700$，$n_{2}=300$，解得$\mu_{2}=\frac{73000-67×700}{300}=87$。方差：$134.6=\frac{700}{1000}[64.7+(67-73)^{2}]+\frac{300}{1000}[s_{2}^{2}+(87-73)^{2}]$，解得$s_{2}^{2}=100$。